Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 8.2 дает интересный способ нахождения центральных элементов в Н. Например, если H есть обертывающая алгебра некоторой комплексной полупростой алгебры Ли д, с каноническим 2-тензо-ром f, то мы получаем оператор Казимира (17.1.5) С = Cd из хордовой диаграммы D с единственной хордой. Было бы интересно описать подпространство центра f/(g), порожденное всеми элементами вида Cd-
Теперь мы готовы указать, как можно получать квантовогрупповые инварианты Qg,у из универсального инварианта Концевича Z. Напомним, что Q0,у определяется по некоторой полупростой алгебре Ли g и конечномерному простому g-модулю V. С парой (g, V) мы ассоциируем линейную функцию wgy на пространстве всех хордовых диаграмм20.8. Вывод квантповогрупповых инвариантов из инварианта Концевича 633
следующим образом. Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на окружности. Ей соответствует корректно определенная хордовая диаграмма, по-прежнему обозначаемая через D, на Из предложения 8.1 мы знаем, как построить центральный элемент Cd алгебры U(?). Так как модуль V прост, Cd действует на пространстве V умножением на некоторый скаляр Pd- Определим wgy(D) как
Wgy(D) = PD- (8.7)
Связь между квантовогрупповым инвариантом QStv и универсальным инвариантом Концевича Z устанавливается в следующем утверждении.
Теорема 20.8.3. В сделанных выше предположениях для всех оснащенных узлов К имеет место равенство
Qsy(K) = dnn9(F) (В-«)
где О — тривиальный узел с тривиальным оснащением, a dim9(F) обозначает квантовую размерность, определенную в параграфе 17.3.
Доказательство. Применяя предложение 8.1 к S = U(Q)-Modf и данному простому модулю V, мы получаем функтор Fy из Л в U(g)-Modf такой, что Fy((-f)) = V. По теореме 7.1 функтор Fy продолжается до ленточного функтора Fy из «4[[/i]]str в (U (g)-Mod f)[[h]]str такого, что Fy((+)) = V. Под ленточным функтором мы понимаем строгий сплетенный тензорный функтор, сохраняющий левую двойственность и скручивание. Композиция функтора Fy с функтором Z из параграфа 7 дает ленточный функтор FyoZ из категории 7Z оснащенных плетений в (U(g)-Modf)[[h]]str такой, что (Fy о Z)((+)) = V. Теперь согласно следствию 6.2 последняя категория эквивалентна категории Uh(g)-Modfr из параграфа 17.3 с помощью строгого сплетенного тензорного функтора Е, отображающего простой g-модуль V в топологически свободный С//г(0)-модуль V. В действительности эквивалентность E сохраняет также двойственность и скручивание (см. [Dri89b]). Следовательно, E о Fy о Z есть ленточный функтор из TZ в Uh(g)-Modfr, отображающий (+) в V. Из утверждения теоремы 14.5.1 о единственности мы получаем
EoFyo Z = Fy, (8.9)634
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
где Fy есть ленточный функтор, введенный в параграфе 17.3. Пусть К — некоторый оснащенный узел. По построению инварианта Qgy мы получаем
Q01V(K) = (EoFv)(Z(K)). (8.10)
Вычислим значение функтора E о Fv на хордовой диаграмме D на окружности. Из предложения 8.2, соотношений (8.2), (8.3), (8.7) и рассуждения из параграфа 14.4 мы имеем
(Е о FV)(D) = Eibtq(Cmv)) = Pd Eieimq(V)) =
= Pd dimg(E(F)) = dimq(V) wgy(D), (8.11)
где квантовый след и квантовая размерность берутся сначала в ленточной категории (U(g)-Modf)[[h]]str, а затем в эквивалентной категории Ufl(Q)-Modfr. Сопоставление последней цепочки равенств с (8.10) завершает доказательство теоремы 8.3. ?
20.9. Упражнения
1. Найдите все примитивные элементы степени ^ 4 в алгебре Хопфа А из параграфа 3.
2. Пусть O(N) — оснадценный тривиальный узел, оснащение которого перекручено на 2ttN. Вычислите для него универсальный инвариант Концевича Z(0(N)) по модулю h4. (Указание: используйте следствие 19.6.5.)
3. Вычислите инвариант Концевича для замыкания косы a\N+l из B2 по модулю /i4.
20.10. Замечания
Понятие инварианта узлов конечного порядка (называемое в литературе также «инвариант Васильева») было введено Гусаровым [Gus91] и Васильевым [Vas90], [Vas92] около 1989-1990 г. Подход Васильева был19.10. Замечания
635
основан на теории особенностей. Вскоре после этого ряд математиков, таких, как Д. Бар-Натан, Дж. Бирман, П. Картье, М. Концевич, Т.К.Т.JIe, К.С.Лин, Я.Мураками, С.Пиунихин, Т.Стэнфорд, внесли существенный вклад в эту новую теорию (см. [BN92], [Bir93], [BL93], [СагЭЗ], [Коп93], [LM93b], [LM93a], [LM93c], [Lin91], [Piu92], [Piu93], [Sta92], [Sta93]). Обзор этих результатов читатель найдет в [Vog93]. Значительный шаг вперед был сделан Концевичем, который построил универсальный инвариант узлов Z(K) и доказал теорему 2.3. Определение Концевича для Z(K) использует сложные кратные интегралы. Картье [Саг93], Ле, Мураками [LM93c] и Пиунихин [Piu93] доказали, что этот инвариант можно определить более простым способом, используя диаграммы плетений. Теоремы 6.1 и 7.1 принадлежат Картье [СагЭЗ].
Понятия из параграфов 5 и 8, по-видимому, являются новыми. Их обобщение см. в [КТ94].Цитированная литература
[Abe80] Abe Е. Hopf Algebras. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.
[AC92] Altschuler D., Coste A. Quasi-quantum groups, knots, three-manifolds, and topological field theory. Comm. Math. Phys., 1992,150, 83-107.