Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 183

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 199 >> Следующая


п>0

Когда К есть оснащенный узел, инвариант Z(K) лежит в А = = Пт>о j^m- Это и есть универсальный инвариант, который мы искали. Действительно, продолжим Z на сингулярные узлы с помощью (1.1). Для каждой двойной точки сингулярного узла мы имеем локальный вклад в Z вида cs,s' — css" Согласно (6.2) он имеет вид

eMS,S'/2 _ e-htS,S'/2 = ^fs + члены степени > 1. (7.5)

Соотношение (7.5) и индукция по числу двойных точек доказывают соотношение (2.9).

Замечания 20.7.2. (a) JIe и Мураками [LM93c] показали, что Z(K) совпадает с инвариантом, первоначально построенным Концевичем 630

Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов

с помощью кратных интегралов. Читателю рекомендуется прочесть работу [LM93c], где Z(K) определяется немного другим путем, с помощью понятия квазиплетения.

(б) Появление ассоциатора <J>kz в определении инварианта Z(K) делает проблематичным вычисление его для произвольного узла. Тем не менее несколько первых членов формального ряда Z(K) можно вычислить, используя следствие 19.6.5.

20.8. Извлечение квантовогрупповых инвариантов из инварианта Концевича

Цель этого параграфа — показать, как можно получить квантовогруп-повые инварианты, введенные в параграфе 17.3, из универсального инварианта Концевича Z. Сначала мы сформулируем свойство универсальности категории А из параграфа 7 по аналогии с предложением 5.2.

Предложение 20.8.1. Пусть S — некоторая инфинитезимально сплетенная категория с левой двойственностью, с симметрией (av,w)v,w и инфинитезимальным сплетением (ty,w)v,w¦ Для любого объекта категории S существует, и единственный, функтор Fv из категории А в категорию S такой, что

Fv(&s,s>) = V Fv (S),Fv (s>), Fv(bs) = bFv(S)^ Fv(ds) = ^fv(S) (8-2)

для всех объектов SuS' категории S.

Доказательство. Оно проводится по аналогии с доказательством предложения 5.2. Главное различие заключается в наличии в А хордовых диаграмм общего вида. Чтобы показать, что соотношение (8.3) определяет Fy для произвольной хордовой диаграммы, заметим, что любую хорду можно сделать горизонтальной, добавляя, возможно, точки максимума и минимума к диаграмме. ?

Fv(S <8> S') = Fv(S) <8> Fv(S'), Fv(D) = I, Fv((+)) = V, Fv((-)) = V*,

(8.1)

и

Fv( ts,s>) = tFv(S),.FV(S')

(8.3) 20.8. Вывод квантовогрупповых инвариантов из инварианта Концевича 631

Мы хотим проиллюстрировать предложение 8.1 в случае, когда S = H-Modf, где H = (Я, А, є) есть некоторая комплексная алгебра Хопфа с фиксированным элементом t = Yhixi®Vi из Prim(if)®Prim(if) таким, что І21 = t и [t, А(а)] = 0 для всех а Є Н. Из предложения 4.2 мы знаем, что S есть инфинитезимально сплетенная категория с левой двойственностью, в которой симметрия задается переставляющим отображением, а инфинитезимальное сплетение — формулой (4.7). Зафиксируем конечномерный левый if-модуль V. Согласно предложению 8.1 существует корректно определенный функтор Fy : А —» H-Modf такой, что iV((+)) = V. Следовательно, если D — некоторая хордовая диаграмма на 4- = id+, то Fy(D) есть H-линейный оператор на V. Сейчас мы найдем этот оператор.

Пусть D — некоторая хордовая диаграмма на | с m > 0 хордами. Определим элемент Cd алгебры H по следующему комбинаторному правилу. Двигаясь вниз вдоль нити 4-, будем писать Xjk всякий раз, проходя через к-й верхний конец какой-нибудь хорды, и писать yJk, проходя ее нижний конец. Таким образом мы получим некоторое слово Wd- Предположим, что это слово есть

Wd — xjl Xj2 Xj3 уп Xj4 уп уj4 Xj5 уj3 уjb

(здесь т = 5). Тогда элемент Cd равен по определению

Cd = (-l)m Y хпхпхНУпхкУпУнхіьУпУзь- (8-4)

jlv js

Предложение 20.8.2. Для любой хордовой диаграммы D на\, элемент Cd принадлежит центру алгебры H и зависит только от класса эквивалентности диаграммы D в AQ.). Кроме того, оператор Fy(D) совпадает с действием центрального элемента Cd алгебры H на V.

Доказательство. Сначала мы деформируем D в хордовую диаграмму, все хорды которой горизонтальны. Мы утверждаем, что из соотношений (8.1)-(8.3) следует совпадение действия Cd на V с оператором Fy(D). Далее, функтор Fy определен на классах эквивалентности хордовых диаграмм. Следовательно, Cd зависит только от класса эквивалентности диаграммы D. Наконец, так как оператор Fy(D) является //-линейным, элемент Cq лежит в центре. 632

Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов

Докажем наше утверждение в специальном случае, когда D есть единственная хордовая диаграмма на 4-, имеющая две пересекающиеся хорды. Эту диаграмму можно записать в виде

D = (id{+) (8 d(+))(t(+_) (8> id(+))(id(+) (8> f(_+))(6(+) (8 id(+)) (8.5)

в категории А. Ее образ под действием функтора Fv есть оператор

Fv(D) = (idy (8> dv)(tvy. (8> idy)(idy <8> fy*,y)(6y ® idy). (8.6)

Пусть V — некоторый элемент пространства V и {ьі}і — некоторый базис в V. Обозначим дуальный базис через {V};. Будем иметь

Fv(D)(v) =Yxivi(yjxkv\ykv) =

= Y2xjvi(v\s{yjxk)ykv) = i,j,k

= xivi(v\ ХкУіУкк) = i,j,k

= (^2хіхкУзУк)и = 3,к

= Cd v.

Третье равенство следует из S(yjxk) = S(xk)S(yj) = (—1 )2xkyj, что выполняется, так как хк и yj являются примитивными элементами алгебры Хопфа Н. ?
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed