Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
627
Пусть g — некоторая полупростая алгебра Ли, a t Є 0 <8> g — инвариантный симметрический 2-тензор, заданный формулой (17.1.6). Рассмотрим инфинитезимально сплетенную категорию U(g)-Modf. Теорему Дринфельда 19.4.3 и следствие 19.4.4 можно в точности переформулировать следующим образом.
Следствие 20.6.2. При Ф = Фкъ имеет место сплетенная тензорная эквивалентность сплетенной тензорной категории Ufl(Q)-Modfr из параграфа 17.3 и сплетенной тензорной категории (C/(g)-Mod/)[[/і]].
20.7. Построение универсального инварианта Концевича
Для начала мы сформулируем утверждение, обобщающее теорему 6.1 на случай, когда инфинитезимально сплетенная категория S обладает левой двойственностью V (->• V* со структурными отображениями by : I —» V® F* и dy : V* ®V I. В параграфе 6 мы построили нестрогую сплетенную тензорную категорию <S[[h]]. Пусть <S[[/i]]str — строгая сплетенная тензорная категория, ассоциированная с <S[[/i]] с помощью описанной в параграфе 11.5 процедуры. Мы сохраняем обозначения из параграфа 6.
Теорема 20.7.1. При сделанных выше предположениях строгая сплетенная тензорная категория <5[[/i]]sfr является ленточной категорией со скручиванием Qy, заданным формулой
Qv = еНСу!2, (7.1)
и левой двойственностью, определяемой следующим образом: для произвольного объекта V двойственным к нему является тот же объект V*, что и в категории S; структурные отображения by и dy задаются формулами
Ьу = Ь°у и dy = (fy о (Xyl ® idy), (7.2)
где Ay есть автоморфизм объекта V*, заданный формулой
Ay = (dy <8> idy.) о Ф(іу*,у <g> idy, idy (? fy,y )-1 о (idy <g> 6^). (7.3) 628
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Ленточные категории были определены в параграфе 14.3, а эндоморфизмы Cy — в (4.6).
Доказательство. Аксиомы (14.2.1) для этой двойственности доказываются прямым вычислением, а аксиомы (14.3.1), (14.3.2) для скручивания следуют по существу из соотношения (4.5). ?
Важность этой теоремы объясняется тем обстоятельством, обсуждавшимся в пункте 14.5.1, что с помощью раскрашивания зацеплений в объекты категории S ленточная категория <S[[/i]]str приводит к инвариантам оснащенных зацеплений со значениями в кольце эндоморфизмов Ends(J) [[/і]] единичного объекта I в <S[[/i]]str. Этот факт будет сейчас использован для построения универсального инварианта Концевича. Здесь и далее мы предполагаем, что рядом Дринфельда, фигурирующим в теоремах 6.1 и 7.1, является ассоциатор Дринфельда Фкг-
Сперва определим инфинитезимально сплетенную категорию А с левой двойственностью. Она строится так же, как и категория AB из параграфа 5, с тем лишь исключением, что косы теперь заменены на оснащенные плетения и хорды не предполагаются горизонтальными. Более точно, объектами категории А являются объекты категории плетений Т, то есть конечные последовательности знаков + и —, включая пустую последовательность 0. Морфизм в категории А —- это некоторый элемент комплексного векторного пространства A(T), где T — некоторое оснащенное плетение (определение которого см. в параграфе 3). Его начальным (соответственно конечным) объектом является последовательность S (T) (соответственно последовательность Ь(Т)), определенная в параграфе 10.5. Композиция морфизмов задается отображением (3.5). Тождественным морфизмом для последовательности S является диаграмма, не содержащая хорд, на плетении ids.
Мы зададим строго ассоциативное тензорное умножение в категории А так же, как и в AB. Единицей является пустая последовательность: 1 = 0. Напомним, что полугруппа эндоморфизмов объекта 0 в категории оснащенных плетений представляет собой множество всех изотопических классов оснащенных зацеплений в R2 х ]0,1[. Теперь по-лугруппой эндоморфизмов объекта 0 в категории А является комплексная ассоциативная алгебра, так как множества морфизмов являются 20.7. Построение универсального инварианта Концевича
629
комплексными векторными пространствами. Эта алгебра биградуиро-вана числом хорд и числом связных компонент зацепления. Мы имеем
End4(Z) - 0 Am(O9n), (7.4)
где 0®п обозначает дизъюнктное объединение п окружностей.
Симметрия и инфинитезимальное сплетение категории AB задают симметрию и инфинитезимальное сплетение в А. Последняя обладает также левой двойственностью, индуцированной левой двойственностью категории Л ленточек (см. пункт 14.5.1).
Так как категория А удовлетворяет условию теоремы 7.1, мы получаем ленточную категорию .A[[/i]]str- Возьмем в ней объект (+). По теореме 14.5.1 существует, и единственный, строгий сплетенный тензорный функтор
Z-.K^ A[[h]]str,
сохраняющий двойственность и скручивание и отправляющий объект (+) категории ленточек TZ в объект (+) категории -4[[/i]]sfr. Следовательно, функтор Z тождественен на объектах. Ограничение функтора Z на косы есть морфизм, задаваемый формулами (6.3), (6.4).
Пусть К — некоторое оснащенное зацепление. Его можно рассматривать как эндоморфизм единичного объекта категории 1Z. Его образ Z(K) есть изотопический инвариант, лежащий в
End^pr,(0) = 0A(<T).
