Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
п т
in,m = EEii,n+j- (5'1)
і=1 J=I
где ttJ есть хордовые диаграммы (определенные ранее в параграфе 3) с единственной хордой между г-й и j-й нитями.
Предложение 20.5.1. Семейство (tn,m)n,m^o является инфинитези-малъным сплетением в категории AB. 624
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
Доказательство. Соотношения (4.2), (4.3) проверяются легко. Остается доказать, что семейство (t п,т)п,т функториально по отношению ко всем морфизмам из AB. Так как эта категория симметрическая, достаточно показать, что квадрат
_ tn,m _
п®т -> п®т
}Шт (5.2)
_ ^n ,771 _
п®т -> п®т
коммутативен для любого морфизма /. Но действительно, алгебра эндоморфизмов объекта п в AB, очевидно, порождается образующими сті,... ,crn_i группы кос Bn и хордовыми диаграммами из
Ailor (1 п). Следовательно, остается лишь проверить коммутативность диаграммы (5.2) в случае, когда / имеет вид Oi или tl]. Это легко сделать в первом случае. Во втором случае из соотношений (4.3), (4.4) мы видим, что достаточно рассмотреть случай п = 2, т = 1 и / = t12. Будем иметь
i2)i°(i12®idi)=i13i12 + i23t12 (t12 <s> idi) о t2>1 = t12t13 +112*23.
Следовательно, коммутативность диаграммы (5.2) в этом специальном случае равносильна соотношению
[t12, t13 + f23] = 0. (5.3)
Последнее следует из (3.7).
Это доказательство показывает, что четырехчленное соотношение навязывается требованием естественности семейства (fn,TO)n,m^o в категории AB. Сформулируем теперь свойство универсальности категории AB, являющееся инфинитезимальным аналогом следствия 13.3.8.
Предложение 20.5.2. Пусть S — некоторая инфинитезимально сплетенная категория с симметрией (<jv,w)v,w и инфинитезимальным сплетением (tv,w)v,w¦ Для любого объекта V категории S существует, и притом единственный, сплетенный строгий тензорный функтор Fy: AB —> S такой, что
х Fy(I) = V и Fv(t12 : 1 ® 1 1 ® 1) = tVy. (5.4)
/®idm 20.6. Интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий
625
Доказательство. Оно проводится по аналогии с доказательством леммы 13.3.5. Зададим Fy на образующих (tli)формулой
Fvitii) = (orV)-1(idve(i_D ® tVy ® (5.5)
где сги = idy«. ® (Ty®u-i-i)tv ® . Мы должны проверить опре-
деляющие соотношения (3.6) и (3.7) на морфизмы в категории AB. Соотношение (3.6) очевидно, а соотношение (3.7) следует из (4.8). ?
Применяя предложение 5.2, можно получить эквивалентность между категорией S и категорией сплетенных тензорных функторов из AB в S, сохраняющих инфинитезимальные сплетения.
20.6. Формальное интегрирование инфинитезимально сплетенных категорий
Здесь мы дадим обзор категорной конструкции, принадлежащей Картье [СагЭЗ]. Пусть Ф — некоторый ряд Дринфельда, определение которого было дано в замечании 19.8.3, например ассоциатор Дринфельда Фкг-
Для данной инфинитезимально сплетенной категории S с симметрией (av,w)v,w и инфинитезимальным сплетением (tv,w)v,w построим сплетенную тензорную категорию <S[[/i]] следующим образом. Объекты в S[[h}} те же, что и в S. Морфизм из F в Wb категории S[[h]} по определению есть некоторый формальный ряд Inh11, где
/0,/1,/2,-¦• — некоторые морфизмы из V в W в категории S. Операция композиции морфизмов в категории «S[[/i]] получается из композиции в S и умножения формальных степенных рядов. Тождественным морфизмом объекта V в <S[[/i]] является постоянный формальный ряд idy.
Теорема 20.6.1. При сделанных выше предположениях в <S[[/i]] существует, и притом единственная, структура сплетенной тензорной категории такая, что тензорное произведение объектов и единичный объект такие же, как и в S, тензорное умножение морфизмов 626
Глава 20. Послесловие. Универсальный инвариант, узлов
продолжается по С[[К\]-линейности с тензорного умножения в S, условие ассоциативности а задается формулой
au,v,w = ${tu,v ® idw, id и ® tv,w), (6-1)
а сплетение с — формулой
cvtw = CTvtW о еы^!2. (6.2)
Доказательство. Нужно проверить аксиому пятиугольника (11.2.6) и аксиомы шестиугольника (13.1.3) (13.1.4). Но они следуют из соотношений (19.8.27)-(19.8.29), которым удовлетворяет Ф. ?
Применяя эту конструкцию к категории S = AB из параграфа 5, мы получим сплетенную тензорную категорию Л0[[/і]]. Выберем в ней объект 1. Тогда согласно следствию 13.3.8 существует, притом единственный, строгий сплетенный тензорный функтор Z из сплетенной категории В в категорию Д#[[Уі]], который отображает 1 в 1 и, следовательно, тождественен на объектах. Ограничивая его на эндоморфизмы объекта п категории В, то есть на группу кос Bn, мы получаем групповой гомоморфизм
mjjl
который по лемме 15.4.1 определен на образующих группы кос формулами
Z{px) = охеы™'2 (6.3)
и
ZiPi) = (vid-x, e idT-i^iJ*'"1V1V ® id?"-4-1*),
(6.4)
если 2 і ^ п — 1. Изоморфизмы ассоциативности av®a-i)yy вычисляются из ряда Дринфельда Ф с помощью (6.1) и (4.3), (4.4). Композиция отображения Z с проекцией на Sn есть эпиморфизм, отправляющий каждую косу в соответствующую ей перестановку. В следующем параграфе мы продолжим отображение Z на все плетения. 20.7. Построение универсального инварианта Концевича
