Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
а' — другой такой изоморфизм, то в І7(д)[[/ї]] найдется элемент F такой, что F = 1 (mod/і) и a'(a) = Fa(a)F~l для всех а Є Ufl(Q).
Доказательство. Первое утверждение является прямым следствием теоремы 2.2 и утверждения следствия 3.3 о тривиальности
H2(SMQ))¦
Что касается второго утверждения, то заметим, что а' о а~1 и тождественное отображение являются автоморфизмами топологической алгебры ?/(б)[[/г]], индуцирующими тождественное отображение в U(q). По теореме 2.1 и из тривиальности H1(q, U(q)) (см. следствие 3.3) в U(?) [[<?]] существует элемент F= 1 (mod/г) такой, что мы имеем (а' о а-1)(и) = FuF~l для всех и Є f/(?)[[/i]]- Заменяя и на а(а), получаем требуемое утверждение. ?
Так как сопряженные гомоморфизмы совпадают на центре, мы получаем следующее важное утверждение, которое уже было использовано в параграфе 17.3 для определения квантового элемента Казимира Cfl в алгебре Дринфельда-Джимбо Ufl(Q)-
Следствие 18.4.2. Существует, и притом единственный, изоморфизм а топологических алгебр между центром алгебры Ufl(Q) и центром алгебры І7(б)[[/г]] такой, что a = id (mod/г).
С помощью изоморфизма а между Ufl(Q) и (7(g) [[/г]] мы можем сопоставить каждому конечномерному g-модулю топологически свободный С//1(д)-модуль. Действительно, пусть V — некоторый конечномерный g-модуль. Снабдим F[[/г]] продолженной структурой U(д)[[/г]]-модуля. Определим V как пространство V[[h]\, снабженное структурой ?4(д)-модуля, задаваемой формулой а ¦ v = a(a)v, где а Є (o) и V Є F[[/i]]. Так как а сравнимо с тождественным отображением по модулю h, мы видим, что VfhV изоморфен V как g-модуль. Можно показать, что если V\ — простой g-модуль, ассоциированный со старшим весом А, то V\ есть Ufl(q)-mo-дуль со старшим вектором, о котором мы говорили в конце параграфа 17.2. 18.5. Когомологии коалгебр
539
18.5. Когомологии коалгебр
Для доказательства второй теоремы о жесткости из этой главы мы рассмотрим теорию когомологий для коалгебр. Пусть (С, Д, є, 1) — некоторая коалгебра над полем к с выделенным элементом 1 Є С таким, что Д(1) = 1 <8> 1 (что влечет за собой е(1) = 1). Очевидно, что любая биалгебра удовлетворяет этим условиям с элементом 1, совпадающим с единицей для умножения.
Мы полагаем T0(C) = к и Tn(C) = С®71, если п > 0. Зададим линейные отображения (?,... , <$™+1 из Tn(C) в Тп+1(С) формулами
1 <8> х\ (8)... (8) хп, Xl ® ... <8> хп ® 1,
Xi ®... <g> Xi-I ® A(Xi) (8> Xi-(.і (8>... <8> хп,
если 1 ^ і ^ п. В случае п = 0 мы полагаем <5о(1) = ^o(I) ~ 1-
Лемма 18.5.1. Для любых целых i,j таких, что 0 ^ г < j ^ п + 2, мы имеем 6Jn+16ln = S^lSjn'1.
Доказательство. Если j ^ і + 2, то это сразу следует из определения. Рассмотрим случай j = і + 1. Если 1 ^ і ^ п, то мы имеем
S1r^iS1n(жі (8>... <8> Xn) = Xi <8>... <8>Xi-I <8 (idc ® Д)(Д(Xi)) <8>xi+i ®... <8>хп.
С другой стороны,
oh+i6h(xi <8> ¦ • • <8> хп) = xi®...® Xi-I (8) (д <8> idc)(A (Жі)) <8> хі+і ®...®хп.
Эти два выражения равны в силу коассоциативности Д. Если г = 0, то мы имеем
SUMx1 ® ¦ ¦. ® хп) = Д(1) ® Xi ® ... ® хп = = 1®1®Х1®...®Хп = = S°+X(xi®...®xn).
В оставшемся случае і = п + 1 требуемое соотношение доказывается ал алогично. ?
Й„(жі ® ...®Хп) = Sn+1(x i®...®xn) = SUx i®...®xn) = 540
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Как следствие, мы можем задать на T'(С) дифференциал степени +1.
Следствие 18.5.2. Определим дифференциал 5: Tn(C) —> Тп+1(С) формулой S = ^-У^п- Тогда будем иметь S о S = 0.
Коцепной комплекс (Т'(С),6) называется кобар-комплексом коалгебры С.
Доказательство. В градуировке п мы имеем по лемме 5.1
71+2 га+1
<5 = E ?(-1)*?!? =
j=0 г=0
= + ?(-i )І+Ч+Л =
i<j j^i
= 5^(-^(?+!? -?+!?"1) =
i<j
= 0. ?
Естественные изоморфизмы Tn(C)QTm(C) = Tn+m(C) индуцируют ассоциативное согласованное с градуировкой умножение в пространстве T(C) = ф„>0 Tn(C). Это умножение согласовано с дифференциалом 6 в следующем смысле.
Лемма 18.5.3. Если ш Є Tn(C) и J Є Tm(C), mo для произведения шш' Є Тп+тп(С) имеет место равенство
S(uJ) = 6(ш)и/ + (-1 )nw6(J). (5.1)
Мы будем использовать термин дифференциальная градуированная алгебра для градуированной алгебры с дифференциалом, удовлетворяющим соотношению (5.1). Из леммы 5.3 следует, что умножение в T9(C) индуцирует ассоциативное согласованное с градуировкой умножение в когомологиях Н*(Т*(С),6) кобар-комплекса.
доказательство. Утверждение леммы 5.3 вытекает из соотношений 8ln+m(wJ) = on(ui)J, имеющих место при г < п, и Sn+m(ujJ) = = UiS^n(ui') при г ^ п + 1, а также
6n+1(u)J = и ® 1 ® J = Uprn(J). ? 18.5. Когомологии коалгебр
541
Предположим, что С обладает инволюцией х н* х такой, что 1 = 1, и Д(ї) = Aop(Zc), например, если С — кокоммутативная коалгебра с тождественной инволюцией. Тогда можно задать также инволюцию комплекса (Т*(С), 6). Определим автоморфизмы ап пространств Tn(C) как ао = idk и
CTnix1 ®...®хп) = (-1)"("+D/2 хп ® ... ® W1, (5.2)
если п > 0. Автоморфизмы On являются инволюциями. Лемма 18.5.4. Мы имеем 8ап = on+1S.
