Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь нам осталось построить отображение 7, удовлетворяющее соотношению (3.1). По данному / Є Cn(g,M), где п > 0, и элементу Казимира мы построим кососимметрическое (п — 1)-линейное отображение 7/ со значениями в M по формуле
(т/НУъ • • ¦ ,Уп-1) = J] xkf{xk,yi,--- , Уп-і) (3-2)
k 18.3. Тривиальность некоторых когомологий полупростых алгебр Ли 535
для всех J/1,... ,Уп—l € 0. Если / Є C°(q,M), то положим 7/ = 0. Применяя (3.2) и (1.2), мы получаем
(<57/ + 7<5/)(уъ--- ,Уп) = Cf(yu... ,уп)+ Y (-1)^"
где
= ,і/»») + ®fc/C[®fc,i/i],i/i, - - - ,Уп))-
k
Соотношение (3.1) будет доказано, если мы покажем, что Zi — тождественный нуль. Используя линейные функции Oki и ?ki из параграфа 17.1, мы получаем
Zi = Y(akl(yi) xif(xk ¦ ¦ ¦ ' Уп) +
к,I
+ ?kliyi) Xkfix^y1,... ,Уі,... ,yn)).
Меняя местами к vi I во втором слагаемом в выражении под знаком суммы, мы приходим к равенству
Zi = +?ikiyi))xifixk,yu... ,уі,... ,уп),
к,I
что равно нулю в силу леммы 17.1.1. ?
Как следствие мы получаем так называемые «леммы Уайтхеда».
Следствие 18.3.2. Если 0 — полупростая алгебра Ли, a M — произвольный конечномерный левый g-модуль, то Hlig,M) = H2(q,M) = 0.
Доказательство. Мы знаем, что любой конечномерный модуль M над полупростой алгеброй Ли является прямой суммой M = фг M1 простых модулей М{. Так как комплекс C*(g, М) является прямой сумой подкомплексов С*ig, Mi), мы получаем Hn(g, М) = ф{Hnig, Mi). Согласно предложению 3.1 достаточно доказать следствие 3.2 в случае, когда M является тривиальным одномерным 0-модулем С.
(а) Сначала докажем тривиальность Яг(0,С), откуда будет следовать тривиальность H1 {g, М) для любого конечномерного модуля М. Пусть / — некоторый 1-коцикл со значениями в тривиальном модуле С. 536
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Соотношение (1.4) превращается в f([x, у]) = 0 для всех ж, у Є 0. Далее, из соотношений Ceppa (17.1.9), (17.1.10) видно, что элементы [х,у] аддитивно порождают 0. Следовательно, / = 0 на всем пространстве 0.
(б) Доказательство равенства нулю групп H2 (0, С) немного сложнее. Для начала мы утверждаем, что если / есть 2-коцикл со значениями в С, то линейное отображение /, заданное формулой f{x)(y) = = f(x, у) для всех х,у Є Q есть 1-коцикл на 0 со значениями в двойственном векторном пространстве 0*. В этом утверждении предполагается, что мы задали левое действие 0 на 0*. В качестве этого действия берется коприсоединенное представление, определенное по формуле
(ха)(у) = а([у,х}), (3.3)
где х,у Є Q и а Є 0*. Действительно, если / — 2-коцикл со значениями в С, то из (1.5) мы получаем
f([x,y})(z)=f(y)([z,x))-f(x)([z,y})
для всех x,y,z Є 0. Переписывая это с помощью (3.3), будем иметь
Ji[x,y\) = xf(y)-yf(x),
откуда видно, что / есть 1-коцикл со значениями в конечномерном 0-мо-дуле 0*. Но согласно первому из утверждений следствия 3.2 коцикл / является кограницей, то есть существует линейная функция а Є 0* такая, что f(x) = XOL. Таким образом, мы получаем
fix,у) = Jix)iy) = (ха){у) = а{[у,х\) = -а([х,у\).
Другими словами, 2-коцикл / является кограницей элемента а. Это завершает доказательство тривиальности группы H2. Заметим, что по ходу дела мы доказали, что #2(0,С) = Я1(0,0*). ?
Снабдим алгебру 17(0) присоединенным левым действием алгебры Ли 0, которое определяется по формуле X-U = хи — их = [х,и], где X Є Q и и Є Uis). Если и = Xi... хп, где элементы х\,.. ¦ ,хп принадлежат 0, то простая индукция показывает, что
п
X-U = Yjx 1 ' ¦ -xi-l[x,xi]xi+i ...Хп. (3.4)
г=1 18.4. Приложения к KOA Дринфельда-Джимбо
537
Следствие 18.3.3. Пусть g — конечномерная комплексная полупростая алгебра Ли, действующая на U(g), как указано выше. Тогда H1(g,U(g)) = H2(g, Щ0))=О.
Доказательство. Мы воспользуемся отображением симметризации г]: S(о) -» U(g), определенным в параграфе 5.2 по формуле
Tjix1 ...Xn) = Y 2V(I) ¦ • • ха(п), aeSn
где X1,... ,хп Є 0. Мы знаем, что г] является изоморфизмом линейных пространств. Кроме того, если мы снабдим ^(д) структурой левого 0-модуля, заданной формулой
п
X ¦ (zi . . . Xn) = Y arI • ¦ ¦ xI-Xi)xi+1 ...Хп, (3.5)
г=:
то отображение г) станет изоморфизмом 0-модулей. Теперь из (3.5) легко видеть, что действие 0 сохраняет разложение 5(g) в сумму однородных компонент ^"(д). Таким образом, мы получаем изоморфизм 0-модулей
f/(0) = ©5"(0).
TI^ О
Следовательно, как результат применения следствия 3.2 к конечномерным модулям ?"(0) мы имеем для і = 1, 2
Нг(д,Щд)) = фнг(д, Sn(g)) = 0. ?
п>0
18.4. Приложения к квантовым обертывающим алгебрам Дринфельда-Джимбо
Пусть 0 — некоторая конечномерная комплексная полупростая алгебра Ли, Uh (0) — квантовая обертывающая алгебра Дринфельда-Джимбо из параграфа 17.2. Первые три параграфа этой главы были подготовкой к доказательству следующего утверждения. 538
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Теорема 18.4.1. Существует изоморфизм топологических алгебр а'- Uh(e) —> сравнимый с тождественным по модулю h. Если
