Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(ii) как С [[/г]]-модуль А топологически свободна, то есть
A = U(q)M, (2-12)
(iii) единица 77( 1) алгебры А является постоянным формальным степенным рядом 1 из C(g)[[/i]] при отождествлении (2.12).
Вторая теорема этого параграфа — это теорема существования. Она называется теоремой о жесткости, поскольку утверждает, что любая такая топологическая алгебра изоморфна тривиальной топологической алгебре, ассоциированной с U(q).
Теорема 18.2.2. Если в сделанных выше предположениях группа H2(q,U(q)) тривиальна, то существует изоморфизм а: А —> f/(0)[[/i]] топологических алгебр, индуцирующий тождественное по модулю h отображение AfhA —> U(q).
Здесь условие на когомологии относится к присоединенному действию алгебры Ли 0 на U(g). 532
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Доказательство. Сначала мы будем действовать так же, как и в параграфе 16.5, отождествляя С[[Л]]-модуль А с С(д)[[Л]] и расписывая в виде формального ряда С[[/г]]-линейное отображение р. из A® A = (U (д) ® С/(0))[[/г]] в A = U(g)[[h}}, то есть
p = Y,hnhn, (2.13)
П>0
как и в формуле (16.5.3), где (рп)п есть семейство билинейных отображений из U(g) X U(g) в U(g) такое, что ро совпадает с умножением в обертывающей алгебре алгебры Ли д. Условие (iii) выше можно переформулировать в виде
рп(1,х) =Hn(X1I) = 0 (2.14)
для всех X Є f/(g) и n > 0. Ассоциативность умножения р выражается равенством
p(p(x,y),z) = p{x,p(y,z)), (2.15)
которое должно иметь место для всех х, у, Z Є U(g). Записывая р в виде (2.13), получаем равносильную систему уравнений:
Y Hp(Hg(x,y),z) = Y Hp(x,Hq(v,z)) (2-16)
p+q=n р+д=п
для всех x,y,z Є U(g) ип^О. Пусть N — наименьшее натуральное п (если такое существует) такое, что рп ф 0. Если такого числа не найдется, то р = ро, что означает совпадение А с f/(g)[[/i]] как топологических алгебр, что и требуется доказать. Если N существует, перепишем (2.16) для п = N. Обозначая произведение элементов из U(g) обычным образом, мы получаем
pn(xy, z) + hn(x, y)z = pn(x, yz) + xpN(y, z) (2.17)
для всех x,y,z Є [/(g). Другими словами, рн удовлетворяет условию (1.9) следствия 1.3, в котором положено M = U(g). Так как группа 18.2. Жесткость алгебр JIu
533
H2(g,U(g)) тривиальна, можно применить следствие 1.3, что даст нам линейный оператор адг на U(g), удовлетворяющий условиям адг(1) = 0 и
У) = xaN{y) - aN(xy) + aN(x)y (2.18)
для всех X, у Є U(g). Зададим С[[/г]]-линейный автоморфизм а алгебры ^(fl)[W] формулой
a = id + OinIin .
Обратный к нему будет иметь вид Yn>o(~l)najvhnN- Заметим, что а(1) = 1. Зададим на А новое умножение р! = YlnyoIjU^n п0 формуле
р'(х,у) = а(р(а-1(х),а-\у))). (2.19)
Так как a = id (mod hN), мы имеем р' = р (modhN). Вычислим р' с точностью до hN+l. Соотношение (2.18) влечет
р'(х, у) =ху + p'N(x, y)hN =
= (id + aNhN)({?0 +?NhN)(x -aN{x)hN, у -aN{y)hN)) = = xy + (aN(xy) + hn{x, y) - OLN{x)y - xaN(y)) hN = = xy (mod hN+l).
Следовательно, p'0 = pо есть умножение в U(g), в то время как
^ = ... = ,4 = 0. (2.20)
Мы используем эту процедуру для построения изоморфизма алгебр А и U(g)[[/г]]. В результате, после применения рассуждения, приведенного выше, к случаю N = 1, мы получаем изоморфизм вида id + ct\hl между алгеброй А с исходным умножением и алгеброй А, снабженной новым умножением р^ таким, что = 0- Применяя теперь наше рассуждение к р^ и N = 2, мы получаем изоморфизм id + a2h? между (А,//1)) и (А,р^), где — умножение такое, что р^ = р^ — 0-Повторяя эту процедуру бесконечное число раз и рассматривая композицию всех этих изоморфизмов, мы получаем изоморфизм а между А с исходным умножением и алгеброй А, снабженной умножением таким, что р^ = 0 для всех п > 0. Другими словами, = ро есть обычное умножение в i7(g)[[/i]]. ? 534
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
18.3. Тривиальность некоторых групп когомологий полу простых алгебр Ли
Мы будем использовать теоремы 2.1 и 2.2 в параграфе 4 в случае, когда 0 есть конечномерная комплексная полупростая алгебра Ли. Для того чтобы их применять, нам нужно доказать тривиальность групп когомологий Нг($, U(q)) для г = 1,2. Начнем со следующего утверждения.
Предложение 18.3.1. Если Q есть конечномерная комплексная полупростая алгебра Ли, a M — конечномерный нетривиальный простой левый Q-модуль, то Нп($,М) = 0 для всех п ^ 0.
Здесь условие нетривиальности модуля M означает, что он не является одномерным 0-модулем, на котором действие нашей алгебры Ли нулевое.
Доказательство. Нам понадобится элемент Казимира С = YhkxKxkі определяемый формулой (17.1.5). Мы знаем, что С действует на любом конечномерном нетривиальном простом 0-модуле только как умножение на ненулевой скаляр. Для доказательства предложения мы построим для всех п отображение 7: Сп(д,М) -» Cn~l(g,M) такое, что
Cf = S1f + 1Sf (3.1)
для всех / Є Cn(в, М). Под Cf мы подразумеваем n-линейное отображение, заданное формулой
(С/)(уі,... ,Уп) = С(/(уі,... ,уп)),
где у\,... ,уп принадлежат 0. Пусть / является n-коциклом со значениями в М, то есть удовлетворяет условию Sf = 0. Из (3.1) мы получаем Cf = S(-yf), откуда Cf является n-кограницей. Так как С действует на M умножением на ненулевую константу, мы видим, что / также является кограницей. Это доказывает тривиальность группы Нп(д,М).
