Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
MIhnM ^ MfhnM.
2>п/Л
n> 0 484
Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Предложение 16.2.2. Любой топологически свободный модуль является отделимым и полным.
Доказательство. Из определения видно, что подмодуль hnV^h]\ совпадает с множеством всех элементов х1п>0 таких, что Vq = ... = Vn-i = = 0. Отсюда пересечение всех подмодулей У [[/і]] нулевое. Это означает, что модуль У[[/і]] отделим.
Он также является полным: рассуждение, аналогичное доказательству предложения 1.2, показывает, что модуль У[[/і]] изоморфен обратному пределу семейства (V[[h]}/hnV[[h]\) ?
Как и в случае F = C, /г-адическая топология на У [[/г]], индуцируемая топологией обратного предела, задается метрикой, которая строится так же, как и на C[[/i]] (см. параграф 1).
Топологически свободный модуль У [[/г]] имеет также следующие дополнительные свойства.
Предложение 16.2.3. (а) Пусть {ег}іє/ — базис векторного пространства V. Тогда К-подмодулъ, порожденный множеством {єї}іЄ/, всюду плотен в У[[/і]] в h-адической топологии.
(б) Для любого отделимого полного K-модуля N имеет место естественная биекция
Нот K{V[[h}}, N) 9* Нот (У, N), где Нотд- обозначает пространство K-линейных отображений.
Заметим, что К-линейное отображение / : M —> N из одного отделимого полного і^-модуля в другой всегда непрерывно в /г-адической топологии, поскольку f(hnM) содержится в hnN, что следует из К-линейности.
Доказательство, (а) Пусть W — подмодуль модуля У [[Л]], порожденный множеством {єі}іЄ/. Возьмем произвольный элемент / = = Sn>0 vnhn модуля V[[h}}. Мы должны показать, что для любого целого п > 0 существует элемент /п Є W такой, что / — /п принадлежит hnV[[h]]. Такой элемент /п строится следующим образом: 16.2. Топологически свободные модули
485
fn = Хд=о vkhk- Очевидно, что разность f — fn лежит в hnV[[h}}. Остается проверить, что fn принадлежит W. Но действительно, так как {єі}іє/ является базисом, мы имеем
/• = E (Е^<>* = є *
/:=0 ІЄІ ІЄ/ k=0
Лік)
где Xi — семейство комплексных чисел, все из которых, кроме конечного числа, равны нулю.
(б) Пусть / — непрерывное К-линейное отображение из V [[/г]] в N. Рассматривая V как пространство постоянных степенных рядов из V[[/i]], можно ограничить / до С-линейного отображения из V в N. Обратно, пусть g — С-линейное отображение из F в N. Продолжим его до An-линейного отображения дп из F[[/i]]//inF[[/i]] в NfhnN по формуле
я—1 я—1
дп ( vXhk) = E 9{n)hk (mod hnN). k=0 k=0
Взятие обратных пределов дает К-линейное отображение Qoc для соответствующих обратных пределов. Так как модули V[[/i]] и N являются отделимыми и полными, мы получаем отображение, также обозначаемое через <7оо, из V[[/i]] в N. Его ограничение на V совпадает с д. ?
Нетрудно указать критерий того, что данный модуль топологически свободен. Напомним, что К-модуль M называется модулем без кручения, если hm ф 0 для любого ненулевого элемента т Є М.
Предложение 16.2.4. К-модулъ топологически свободен тогда и только тогда, когда он отделимый, полный и не имеет кручения.
Доказательство. Из предложения 2.2 мы знаем, что любой топологически свободный модуль является отделимым и полным. Он также не имеет кручения ввиду (1.2).
Обратно, пусть M — отделимый полный модуль без кручения. Нам нужно показать, что он имеет вид F[[/i]]. Выберем в M линейное подпространство V, дополнительное к hM. Из предположения, что модуль не имеет кручения, мы получаем hnM = hnV © hn+1M для всех п ^ 0. Значит,
MfhnM = V ® HV ® ... ® hn~lV = V[[h}]/hnV[[h]]. 486 Глава 16. Общие сведения о квантовых обертывающих алгебрах
Взяв обратные пределы и используя тот факт, что модули M и У[[Л]] отделимые и полные, мы получаем
M Iim MjhnM = Iim V[[h]}/hnV[[h]\ ^ V[[h}}. ?
п п
Мы завершаем этот параграф следующим предупреждением. Изоморфизм V[[/i]] = V ® C[[/i]] имеет место тогда и только тогда, когда пространство V конечномерно. Для бесконечномерного пространства V изоморфизм не имеет места, поскольку в этом случае пространство V[[h)} существенно больше, чем V Q C[[/i]]. Действительно, возьмем бесконечное семейство (en)nez+ линейно независимых векторов; тогда элемент Yhn>oenhn модуля V[[/i]] не лежит в VQ С[[Л]].
16.3. Топологическое тензорное произведение
Пусть M vi N — модули над алгеброй К = С[[/г]]. Рассмотрим ^-модуль M Qk N, полученный факторизацией векторного пространства M Q N по подпространству, порожденному всеми элементами вида fm Q п — т Q fn, где / принадлежит алгебре К, т — модулю М, п — модулю N.
Определение 16.3.1. Топологическим тензорным произведением модулей M и N, обозначаемым через M Q N, называется /г-адическое пополнение пространства M Qk N:
MQN = (М Qk N)~ = lim {М Qk N)/hn(M Qk N).
п> О
Так как топологическое тензорное произведение двух модулей определяется как пополнение, оно всегда полно. Для данных т Є M и п Є N обозначим через mQn образ элемента mQn при естественных отображениях MQN —> MQkN —> MQN. Подпространство топологического тензорного произведения, порожденное всеми элементами такого вида всюду плотно в M QN. Обычные условия ассоциативности и коммутативности индуцируют следующие ^-линейные изоморфизмы:
