Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Снабдим T операцией тензорного умножения. Она определяется на объектах приписыванием последовательностей, а именно, если Є = (єі,... ,?k) и є' = (efc+i,... , Єї) — объекты категории Т, то их тензорным произведением является последовательность
є®є' = (ffi,... , ?fc, ?fc+i, - • • ,Єї).
Мы также полагаем 0®є = ?: = є<8)0. Очевидно, что эта операция ассоциативна. Определим теперь тензорное произведение морфизмов в Т. Если L и L' — изотопические классы ориентированных плетений, то
L®L' есть изотопический класс I L I <8> j L' j = j L I [" L' I плетения, которой получается,
„ о і л » г ^ т/ если L' поместить справа от L
Рис. 12.2.1. Изотопическии класс L® L
как на рис. 2.1.
Тензорное умножение плетений является корректно определенной операцией на изотопических классах, оно ассоциативно и определяет функтор из T X T в T- Это подытожено в следующем утверждении. 12.2. Категория плетений
375
Предложение 12.2.1. Категория плетений Т, снабженная определенным выше тензорным произведением, является строгой тензорной категорией, единицей в которой I служит пустое множество 0.
Заметим, что эндоморфизмы единичного объекта 0 — это в точности плетения без границы, то есть зацепления в пространстве E2 х ]0,1[. Это обстоятельство будет для нас важно в параграфах 4, 5.
Теперь мы сформулируем основное утверждение этого параграфа. В нем фигурируют «элементарные» плетения, определенные в (10.5.1)-(10.5.5). Мы используем также следующие соглашения: | = id(+) и t = id(_), сокращение XY используется для X ® Y, если X и Y принадлежат указанному ниже порождающему множеству.
Теорема 12.2.2. Строгая тензорная категория T порождается шестью морфизмами
и соотношениями
(|n)o(u|) = | = (tT|)°(|tT), (2.1)
(ttT)o(tJt) =t= (nt)o(tu), (2.2) (П tt) ° (t П ltf) о (tt х± П) ° (tu U t) ° (tt и) =
- (tt tT) о (m tr t) ° (tt Х± tt) о (t tJ Itt) ° (tr tt), (2.3)
Х+ О X- = X- О х+ = ||, (2.4)
(х+1) о а х+) о (х+1) = а х+) о (х+1) о а х+), (2.5)
а tr) о (Xt t) o(iu) = і, (2.6)
(n It) ° (t t) о (tl и) О (tl tT) О (t Х± t) ° (tT It) = It, (2.7) (tl tT) O (t Х± t) о (tT It) о (П It) о (t Xt t) ° (tl и) = и- (2.8)
Доказательство теоремы 2.2 будет дано в конце параграфа 3. На рис. 2.2-2.9 показаны соотношения (2.1)-(2.8).
Эти соотношения выполнены в категории плетений вследствие леммы 10.5.7 и теоремы 10.5.9. Точнее, соотношения (2.1)-(2.3) следуют чисто из изотопности соответствующих диаграмм, соотношения (2.4), (2.5) и (2.6) получаются изотопией диаграмм и применением движений Райдемайстера типов (II), (III) и (I) соответственно, а соотношения (2.7), (2.8) получаются изотопией диаграмм и движениями Райдемайстера типа (II). 376
Глава 12. Категория плетений
L^ ~ J -^aJ
Рис. 12.2.2. Соотношение (2.1)
І/^ ~ j ~ |/\І
Рис. 12.2.3. Соотношение (2.2)
гО
Рис. 12.2.4. Соотношение (2.3)
И
Рис. 12.2.5. Соотношение (2.4)
Рис. 12.2.6. Соотношение (2.5)
|0 ~ ~ і
к)
Рис. 12.2.7. Соотношение (2.6)
Г
Uo
Uo
п<
Рис. 12.2.8. Соотношение (2.7) Рис. 12.2.9. Соотношение (2.8) 12.3. Категория диаграмм плетений
377
12.3. Категория диаграмм плетений
Для доказательства теоремы 2.2 мы введем строгую тензорную категорию V диаграмм плетений и представим ее образующими и соотношениями. Определение категории V совпадает с определением категории плетений T из параграфа 2 после замены плетений в E2 х [0,1] на диаграммы плетений в Ш х [0,1]. Более точно, объекты категории V такие же, как и в Т, а именно, конечные последовательности знаков ±. А морфизмами в категории Т> являются изотопические классы диаграмм плетений в R х [0,1], определенные в главе 10. Отображения тождественного морфизма, начального и конечного объектов, композиции и тензорного произведения определяются точно так же, как и в категории плетений. Таким образом мы получаем строгую тензорную категорию V. Вольно говоря, категория плетений T получается из V факторизацией по движениям Райдемайстера (I-III).
Введем более «элементарные» диаграммы плетений, показанные на рис. 3.1. Они отличаются от плетений Х± только ориентацией компонент.
XX XX
Y+ Y- Z+ Z- Т+ T-
Рис. 12.3.1. Шесть элементарных диаграмм плетений
V \/
?Ч/Ч
Лемма 12.3.1. В категории Т> выполнены следующие соотношения:
Y± = CU tT) о (t Xt t) ° (tJ it), (3.1)
T± = (n4t)°C№t)°(t4.u), (3.2)
Z± = (n tt) ° (t П ;tt) ° (tt Х± tt) о (tu U t) ° (tt U), (3.3) z± = (tt tT) о (tn tT t) ° (tt x± tt) о (t tJ +tt) о (tJ tt)- (3.4)
Доказательство представлено на рис. 10.3.10. Следующее утверждение дает представление категории диаграмм плетений образующими и со отношениями. 378
Глава 12. Категория плетений
Предложение 12.3.2. Строгая тензорная категория Т> порождается двенадцатью морфизмами U, tj, П, tT, Х+, X-, Y+, Y-, Z+, Z-, Т+ и T- и соотношениями (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4).
Доказательство, (а) Пусть T — множество морфизмов, перечисленных в предложении 3.2. Сначала мы должны доказать, что T порождает V. Пусть П — диаграмма плетения общего положения. Проведем горизонтальную линию чуть выше каждого перекрестка и чуть выше каждой вершины диаграммы П, являющейся точкой максимума или минимума. Эти линии разрежут Rx [0,1] на полосы, ограничение диаграммы П на каждую из которых (кроме самой верхней) будет содержать только один перекресток или одну точку локального максимума или минимума, то есть имеет вид id ® / ® id, где / принадлежит множеству T. В категории Т> диаграмма П представляет композицию плетений, соответствующих этим ограничениям. Такое представление диаграммы П единственно, то есть каждой диаграмме П общего положения мы можем единственным образом сопоставить слово ап в алфавите T такое, что an = П. Как мы видели в параграфе 10.5, каждая диаграмма плетения изотопией приводится в общее положение, откуда T порождает категорию таких диаграмм.
