Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Отображение, сопоставляющее слову а морфизм а в категории С, является строгим тензорным функтором из C(Jr) в С. Если этот функтор является эквивалентностью категорий, то мы говорим, что категория С свободно порождена классом Jr. Согласно предложению 11.1.5 это условие есть:
а ~ b a = b
для любой пары (a, b) слов в Jr и любой морфизм в С имеет вид а, где а — некоторое слово в Jr.
Мы также говорим, что T порождает строгую тензорную категорию C1 если любой морфизм категории С можно получить при помощи морфизмов из T и тождественных морфизмов в С применением конечного числа операций композиции и тензорного умножения. Если Jr372
Глава 12. Категория плетений
порождает С, то любой морфизм категории С имеет вид а, где а — элемент класса M(Jc).
Теперь мы введем в M(Jr) дальнейшие соотношения. В дополнение к Jr мы выберем также некоторый набор TZ неупорядоченных пар (с, d) слов в J- таких, что в категории С имеет место равенство с = d. С помощью TZ мы можем задать новое отношение эквивалентности на M(Jr). Мы будем говорить, что два данных элемента а, а' Є M(Jr) сравнимы по модулю TZ (запись а а'), если существуют слова а0 = а, а\,... , а^ = а' такие, что для всех і слово aj+i получается из aj заменой некоторого подслова с в а{ на подслово d, где пара (с, d) принадлежит TZ.
Теперь мы готовы дать определение представления строгой тензорной категории образующими и соотношениями.
Определение 12.1.3. Говорят, что строгая тензорная категория С порождается образующими Jr и соотношениями TZ, если
(а) класс T порождает С и
(б) для любой пары (а, а') элементов класса M(Jr) имеет место
а ~7г а a = а'.
Интерес к этому определению объясняется следующим утверждением, указывающим условия, при которых функтор из категории С определяется по его ограничению на порождающий класс Jr.
Предложение 12.1.4. Пусть С — строгая тензорная категория, порожденная семейством морфизмов Jr и семейством соотношений TZ. Пусть даны строгая тензорная категория Т> и отображение F0 : Ob(C) ->• Ob(P) такие, что F0(I) = Iu
F0(VQVf) =F0(V) <S> F0(V)
для всех пар (V,V) объектов категории С, и для каждого морфизма / Є Jr задан морфизм gf из F0(s(f)) в F0(b(f)). Тогда строгий тензорный функтор F: С —» Т> такой, что для любого объекта V категории С имеет место F(V) = F0(V), а для любого морфизма f Є Jr выполнено F(J) = gf, существует тогда и только тогда, когда для любой пары (c,d) из TZ морфизмы, получаемые заменой в с и d всех подслое12.1. Представление строгой тензорной категории
373
вида [/], / Є T, на gf и всех подслое вида [idy] — на idFo(y), равны. Если такой функтор существует, то он единственный.
доказательство. Импликация =>¦ очевидна, поскольку слова end представляют один и тот же морфизм в категории С. Следовательно, их образы при отображении F, полученные указанными подстановками, должны совпадать.
Докажем обратное утверждение. Единственность F следует из того факта, что семейство T порождает С. Остается по существу определить F на морфизмах из С. Любой морфизм в С представляется некоторым элементом а Є Ad(Jr). Возьмем в качестве F\(a) морфизм, полученный заменой в слове а каждого подслова вида [/], / Є Jr, на gf, а подслова вида [idy] — на idFo(y). По определению представления категории С образующими и соотношениями слова а и а' представляют в С один и тот же морфизм тогда и только тогда, когда а и а' сравнимы по модулю TZ. Из правила подстановки, данного в предложении 1.4, следует, что если а и а' сравнимы по модулю TZ, то Fi(a) = Fi(а'). Полагая F(a) = Fi(а), получаем отображение F, однозначно определенное на морфизмах категории С. ?
Предложение 1.4 будет существенным образом использоваться в параграфе 4. Мы завершаем этот параграф техническим утверждением. Предположим, что строгая тензорная категория С порождается классом Jr и соотношениями TZ. Предположим также, что в Jr имеется подкласс Jr' такой, что любой морфизм / Є Jr' сравним по модулю TZ с некоторым словом a(f) из .M(^o), где JrO = Jr\Jr'. Обозначим через TZo набор пар (c,d) слов в Jrq, полученных заменой во всех парах слов из TZ каждого морфизма / Є Jrt на соответствующее слово a(f).
Лемма 12.1.5. В указанных выше предположениях тензорная категория С порождается также множеством Jrq и соотношениями TZq.
Доказательство. Ясно, что множество Tq порождает категорию, и если а, а' є M(Tq) сравнимы по модулю TZq, то они сравнимы и по модулю TZ, откуда а = а'. Обратно, если а = а', то, по определению, а и а' сравнимы по модулю TZ. Заменим теперь в этих сравнениях каждый морфизм / Є T' на a(f) Є M(T0), что даст сравнения между а и а' по модулю TZq. ?374
Глава 12. Категория плетений
12.2. Категория плетений
В параграфе 10.5 мы определили понятие изотопических классов плетений. Причина рассмотрения этих одномерных топологических объектов состоит в том, что плетения образуют важную строгую тензорную категорию Т, как описано далее. По определению объектами категории T являются конечные последовательности знаков «+» и «—», включая пустую последовательность 0, а морфизмы в T — это классы изотопных ориентированных плетений. Для любого ориентированного плетения L последовательности s(L) и b(L), определенные в параграфе 10.5, будут соответственно начальным и конечным объектами морфизма L. Отображение тождественного морфизма id: Ob(T) —> Hom(T) определяется по следующим правилам: idg есть пустое множество 0; если є — конечная последовательность длины п из Ob(T), мы задаем id? как класс изотопии плетения L, образуемого объединением отрезков {1,2,... , n} X {0} X [0,1]. Ориентация этих отрезков определяется требованием s(id?) = b(id?) = є. Композиция плетений, определенная в параграфе 10.5, задает операцию композиции в категории Т. Напомним, что плетение L' о L получается приклеиванием L' сверху к L. Леммы 10.5.10, 10.5.11 означают, что T является категорией с отображением тождественного морфизма id?.