Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
По определению, слово ранга 1 — это символ вида [/], где / — некоторый элемент из Т, или вида idy, где V — некоторый объект категории С. Морфизм в категории С, представляемый таким символом, определяется по правилу [/] = / и [idy] = idy. По определению единственным подсловом слова ранга 1 является оно само.
Предположим, что мы определили понятие слова ранга ^ п, где п ^ 1, а также представляемый таким словом морфизм и все его подслова. Назовем словом ранга ^ n + 1 символ вида а о Ь (если Ь и а — составимые морфизмы) или вида а <8> Ь, где а и b — слова ранга ^ п. Соответствующий морфизм определяется по формуле
aob = аоЪ и а<8>Ь = а<8>Ь, (1.1) 12.1. Представление строгой тензорной категории
369
где о и <8> в правых частях обозначают соответственно композицию и тензорное произведение в категории С. Подсловами в словах aob и а<8>Ь являются сами слова и все подслова в словах а и Ь.
Класс слов в Jr — это объединение классов слов всех рангов. Введем отношение эквивалентности слов.
Определение 12.1.1. Два слова а и а' в Jr называются эквивалентными, если существуют слова ао = а, а\,... ,ак = а' такие, что для всех і слово al+i получается из аг заменой некоторого подслова х в аг на подслово у, где X и у есть правая и левая части (не обязательно в таком порядке) одного из следующих соотношений:
([f]°[9])°[h}~[f}o([g}o[h]), (1.2)
[ido(/)]° [/]-[/], [/] ° [ids(/)] ~ [/], (1.3)
[idy] 0 [idy] ~ [idy], (1.4)
([/] ® І9}) ® [h] ~ [/] ® Ы ® [h]), (1.5)
[id/]® [/]-[/], [/] ® [id/] ~ [/], (1.6)
[idy] <8> [idw] ~ [idygw], (1.7)
([/] ® Ы) о ([/'] 9 W) ~ ([/] о [/']) ® ([5] о [g']), (1.8)
где V, W — объекты категории С, a f,f',g,g',h — элементы из Т.
Мы пишем а ~ Ь, если слова а и Ь эквивалентны. Заметим, что если а ~ 6, то для соответствующих морфизмов категории С имеет место равенство a = b. В следующей лемме даны примеры эквивалентных слов.
Лемма 12.1.2. (а) Если f,g Є Т, то
([/] ® [id%)D о ([id,(/)] ® Ы) ~ ([id6(/)] ® [</]) о ([/] ® [ids(s)]).
(б) Если /і, /2,... , fh Є T — морфизмы такие, что s(fi) = Ь(/і+і) для всех і, то слово
([idy] (8> [/1] <8> [idw]) о ([idy] <8> [/2] ® [idw]) о ... о ([idy] ® [Д] ® [idw]) эквивалентно слову [idy] ® ([Д] о [Д] о ... о [Д]) ® [idw]. 370
Глава 12. Категория плетений
(в) Любое слово в T либо имеет вид [idy], либо эквивалентно некоторому слову вида
([idyj ® [Л] ® [idWl]) о ([idy2] ® [/2] ® [idw2]) о ... о ([idyj ® [fk] ® [idWk]), где fx,... JkE Т.
Доказательство, (а) Из (1.3) и (1.8) мы имеем следующие эквивалентности:
([/] ® [id%)]) о ([ide(/)] ® [<?]) ~ ([/] о [ide(/)]) ® ([idb(s)] о [5]) ~
~ [/] ® ы ~
~ ([idK/)] ° [/]) ® (Ы ° [ids(g)}) ~ ~ ([idb(/)] ® [^]) ° ([/] ® [ids(j)])-
(б) Применим индукцию по к. Для к = 1 утверждение очевидно. Если к > 1, то из предположения индукции, соотношений (1.2), (1.4), (1.8) и утверждения (а) следует, что
([idy] ® [/i] ® [idw]) о ([idy] ® [/2] ® [idw]) о ... о ([idy] ® [fk] ® [idw]) ~ ~ ([idy] ® ([fx] о [/2] о ... о [fk_x]) ® [idw]) о ([idy] ® [fk] ® [idW]) ~
~ (([idy] ® ([/i] о [/2] о ... о [/*-1])) ® [idw]) о (([idy] ® [fk]) ® [idw]) ~
~ (([idy] ® ([/l] о [/2] о ... О [/*_!])) О ([idy] ® [Д])) ® ([idw] О [xdw]) ~ ~ [idy] ® ([fx] О [/2] О ... о [fk]) ® [idW].
(в) Докажем утверждение индукцией по рангу слов. Если ранг слова равен 1, то оно имеет вид [/], где / = idy или / Є T. В обоих случаях оно эквивалентно [id/] ® [/] ® [id/]. Предположим, что наше утверждение доказано для всех слов ранга < п. Пусть а — слово ранга < n + 1. Если a = bo с, то по предположению индукции слова b и с эквивалентны либо словам указанного выше вида, либо тождественному слову. Отсюда а также эквивалентно слову требуемого вида либо тождественному слову.
Рассмотрим случай a = b ® с. Достаточно ограничиться предположением, что Ьи сне эквивалентны тождественным словам. Пусть
b ~ bx ° ¦ ¦ ¦ ° Ьк и с ~ Cx о ¦ ¦ ¦ о Ci, 12.1. Представление строгой тензорной категории
371
где каждое из слов bi,... , bk и C1,... ,Ci имеет вид [idy] о [/] о [idw] для некоторого / Є Т. Положим S = s(bk) и T = Ь(сГ). Тогда из (1.3) и части (а) доказательства мы получаем
a = b <8> с ~ ~ (b°[id5]°')<8>([idr]o/coc) ~
~ (Ьі ® [idr]) °...°{bk® [idr]) о ([id5] ® C1) о ... о ([ids] <8> q),
что эквивалентно слову требуемого вида, поскольку
Ъг (8) [idr] ~ [idy] о [/] о [idwgr] и [ids] ® Ci ~ [id5®y] о [/'] о [idW']
для некоторых /,/' Є Т, W' Є Ob(C). Последние две эквива-
лентности следуют из (1.7). ?
Операции композиции и тензорного произведения слов согласованы с построенным выше отношением эквивалентности. Обозначим через M(Jr) класс классов эквивалентности слов в Т. Определим строгую тензорную категорию C(T) следующим образом. Объектами в C(Jr) будут объекты категории С, а классом морфизмов в C(Jr) будет Ai(Jr). Тождественные морфизмы, отображения начального и конечного объектов для C(Jr) задаются формулами
idy = [idy], s(a) = s (a), b(a) = b(a).
Композиция и тензорное произведение слов были определены ранее.
