Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 107

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 199 >> Следующая


6. Пусть R — категория коммутативных колец без делителей нуля, F — категория полей. Покажите, что соответствие, сопоставляющее произвольному кольцу из категории R соответствующее ему поле частных, есть функтор из R в F, который является левым присоединенным к функтору «забывания».

7. Пусть G — некоторая группа, Q — соответствующая ей категория (описанная в примере 1 параграфа 1). Для произвольного х Є G 366

Глава 11. Тензорные категории

определим функтор Ad1 из Q в себя формулой Ad1 (д) = xgx~l. Покажите, что имеется естественный изоморфизм между функтором Ad1 и тождественным функтором.

8. Пусть Vectgr(к) — категория градуированных неотрицательными числами векторных пространств над полем к и линейных отображений степени нуль. Снабдим ее градуированным тензорным произведением (см. главу 3, упражнение 4). Зададим условия а, I, г следующим образом:

а((и <g>v) <g>w) = а(т,п,р)и <g> (v <8> w), 1(1 <8>v) = A(n)v, r(v <8> 1) = p(n)v,

где u,v,w — произвольные однородные элементы степеней соответственно т, п,р, а а, А, р — некоторые функции на Z+ со значениями в к \ {0}. Покажите, что эти условия удовлетворяют аксиомам пятиугольника и треугольника тогда и только тогда, когда а, А, р удовлетворяют следующим функциональным уравнениям:

a(n,p,q)a(m + n,p,q)~1a(m,n + p,q)a(m,n,p + q)~1a(m,n,p) = 1, a(m, 0,p) = p(m)\(p)~l для любых целых m,n,p,q ^ 0.

9. Покажите, что подкатегория Vectf (k)jS всех конечномерных векторных пространств категории Vect (к) с линейными изоморфизмами тензорно эквивалентна тензорной категории GL(к) из пункта 11.3.2.

11.7. Замечания

Тензорные категории были введены в 1963 г. Бенабу [ВёпбЗ] (см. также [МасбЗ], где были определены условия а,1,г, а также аксиомы пятиугольника и треугольника для них). Тензорные категории в литературе называются также моноидальными категориями. Наша терминология взята из работ Джояла и Стрита [JS91a], [JS93], Лемма 2.2 принадлежит Келли [Ке164]. Доказательство теоремы Маклейна о когерентности см. в [МасбЗ], [Мас71]. Упражнение 8 взято из [Ке164]. Глава 12

Категория плетений

Цель этой главы состоит в изложении категорного подхода к изотопическим инвариантам зацеплений. Для этого мы построим строгую тензорную категорию Т, состоящую из плетений, которые мы определили в параграфе 10.5. Любой строгий тензорный функтор из T в категорию конечномерных векторных пространств порождает изотопический инвариант. В параграфе 4 мы, используя представление категории T образующими и соотношениями, сведем задачу построения таких функторов к нахождению алгебраических данных, называемых оснащенной Д-матрицей, включающих в себя конечномерное векторное пространство, Д-матрицу и подходящий автоморфизм на нем. В параграфе 5 мы применим этот метод для предъявления изотопических инвариантов, которые позволят нам завершить доказательство утверждения теоремы 10.4.2 о существовании многочлена Джонса-Конвея.

Сначала мы введем понятие представления строгой тензорной категории образующими и соотношениями.

12.1. Представление строгой тензорной категории образующими и соотношениями

Одним из наиболее эффективных путей к раскрытию структуры конкретной группы G является представление ее с помощью образующих и соотношений 26 . Напомним следующее: Пусть F — некоторое подмножество в G л R — некоторое множество, состоящее из неупорядоченных пар слов в алфавите F. Тогда (F, R) называется копредставлением группы G, если выполнены следующие два условия:

26 Далее для представления (presentation) группы образующими и соотношениями мы используем термин «копредставление». — Прим. перев. 368

Глава 12. Категория плетений

(i) подмножество F порождает G и

(ii) два слова а и Ь в алфавите F представляют один и тот же элемент группы G тогда и только тогда, когда слово Ь можно получить из а операциями замены некоторого подслова с на подслово d, где (с, d) принадлежит R.

Пример 1. Абелева группа Z2 имеет копредставление (F, R), в котором F = {x,y} и R = {(ху, ух)}.

В качестве применения копредставлений групп можно дать определение гомоморфизма групп в терминах порождающего подмножества. Действительно, пусть (F, R) — копредставление группы G. Пусть имеется отображение /о : F —» H в другую группу. Оно продолжается по мультипликативности до отображения из множества слов в алфавите F в группу Н, которое мы также обозначим через /о. Тогда необходимым и достаточным условием существования и единственности гомоморфизма групп / : G —> Н, ограничение которого на F совпадает с /о, является равенство /о (с) = /о (d) для всех (с, d) Є R-

Аналогичный формализм работает и в случае тензорных категорий. В его описании состоит основная цель этого параграфа.

Пусть (С, <8>, I) — строгая тензорная категория, T — некоторый набор ее морфизмов. Нам нужно определить то, что мы будем называть словами в Т. Для каждого слова а будет определено понятие подслова, и слову а будет приписан некоторый морфизм а в категории С. Мы будем говорить, что слово а представляет морфизм а из категории С.
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed