Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
<p(S, (V)) = idF(W : F(S) ®V^F(S* (F))
и
<p(S, S' * (V)) = (ip(S, S') ® idv) O а-;5) і;,(5,)іУ. (5.3)
Следующая лемма будет использована в доказательстве теоремы 5.3.
Лемма 11.5.2. Если S, S', S" — объекты категории Cstr, то мы имеем
(p(S, S' * S") о (idF(5) ® </з(5', S")) о aF(5);F(S'),f(S") =
= tp(s * S', S") О (<p(S, S') ® idF(s»)).
Доказательство. Применим индукцию по длине последовательности S". Если S" = 0, то мы имеем
ip(S, S')(idF(5) ® ip(S', 0)) aF(5),F(5'),/ =
= <p(S, S')(idF(5) ® rF(5')) aF(5),F(5'),/ = = ?>(S> -S1') rF(5)®F(5') = = rf(s*s') (?>{S,S') ® id/) =
= ip(S * 5', 0)(y)(5,5') <B> id/).
Первое и последнее равенства следуют из определения, второе — из леммы 2.2, а третье — из естественности г. 11.5. Превращение тензорных категорий в строгие
363
Пусть F — некоторый объект нашей категории. Докажем, что равенство из леммы 5.2 для тройки (S,S',S") влечет это равенство для тройки (S, St, S" * (F)). Мы имеем
<p{S, S1 * S" * (F))(idF{5) ® <p(S', S" * (F))) aF(s)iF(S'),F(s».(v)) = = (ip(S, St * S") <8> idy) a^(s)iF(s'.s»),v (idF(S) ® (tPiS1, S") ® idy)) о
O (idF(5) (8> aF(S'),F(S"),v) aF(S),F(S'),F(S")®V = = (v{S, St * S") <8> idy) ((idF(5) ® <p{S, S")) ® idy) O
° aF(S),F(S')®F(S"),viidF(S) ® aF(5'),F(5"),v) aF(S),F(S'),F(S")®V =
= (<?(S,* 5") <8> idy) ((idF(5) <8> ^(S", S")) ® idy) о
° (aF(S),F(S'),F(S") ®idv)aF(S)®F(5'),F(5''),y = = (</>(5 * S", S"') <8» idy) ({ip{S, St) <8> idF(5")) <8> idy) aF(s)®F(s/),F(s''),v = = (</3(5 * S', S") <8» idy) aF(S*S'),F(S"),v s') ® (idF(S") ® i<M) =
= </>(? * 5', S" * (F))H5, S') ® idF(sw<,(v))).
Первое и последнее равенства следуют из (5.3), второе и пятое — из естественности условия ассоциативности, то есть из соотношения (2.5), третье — из аксиомы пятиугольника (2.6) и четвертое — из предположения индукции. ?
Теперь мы можем определить тензорное произведение / * /' двух морфизмов / : S —> T и /': St —> T' в категории Cstr. По определению / есть морфизм из F(S) в F(T), а /' — некоторый морфизм из F(S') в F(Tt) категории С. Определим их тензорное произведение / * /' в Cstr с помощью коммутативного квадрата
F(S) ® F(St) v(S'S,) ) F(S * S')
f®f
/*/' (5.4)
F(T) ® F(T) у(Г'Г)) F(T * T')
Теорема 11.5.3. Вместе с заданным таким образом тензорным произведением категория Cstr является строгой тензорной категорией. Категории С и Cstr тензорно эквивалентны. 364
Глава 11. Тензорные категории
Доказательство. Легко проверить, что определенное выше отображение * является функтором. Этот функтор строго ассоциативен по определению. Следовательно, Cstr есть строгая тензорная категория.
Чтобы доказать, что она тензорно эквивалентна категории С мы должны предъявить тензорные функторы и естественные тензорные изоморфизмы. Для начала мы утверждаем, что тройка (F,id],{p) является тензорным функтором из Cstr в С, где ip — естественный изоморфизм, построенный выше. Действительно, лемма 5.2 является переформулировкой соотношения (4.1), а соотношения (4.2), (4.3) следуют из определения <p(S, 0) и (/з(0, S). Функтор G из доказательства предложения 5.1 является строгим тензорным функтором. Наконец, естественный изоморфизм в является естественным тензорным изоморфизмом. ?
Из теоремы 5.3 следует теорема Маклейна о когерентности, которая утверждает, что в тензорной категории любая диаграмма, построенная из условий а, I, г, тождественных морфизмов и их всевозможных тензорных произведений, коммутативна. Другими словами, коммутативность всех таких диаграмм равносильна коммутативности пятиугольника (2.6) и треугольника (2.9).
11.6. Упражнения
1. Пусть / — некоторое предупорядоченное множество, то есть множество с бинарным отношением < таким, что х < х и (х < у и у < z) X < г. Положим Ob(J) = I, Horn(J) = = {(я, у) Є I X I I X < у}, s(x,y) = X, b(x, у) = у и (y,z) о (х,у) = (x,z). Покажите, что эти данные задают некоторую категорию J.
2. Докажите, что класс всех категорий образует категорию Cat, объектами которой являются категории, а морфизмами — функторы.
3. Докажите, что класс всех функторов образует категорию Funct,
в которой объектами являются функторы, а морфизмами — ес-
тественные преобразования между функторами. 11.6. Упражнения
365
4. Выразите в терминах присоединенных функторов следующие естественные биекции:
(а)
HomAfc(k[G],A) НотGr(G1Ax),
где G — некоторая группа, к — коммутативное кольцо, А — алгебра, и Ax — группа обратимых элементов алгебры А\
(б)
HomAjg(CZ(L)1A) * HomLje(L,L(A)),
где Lie — категория алгебр Ли, L — объект категории Lie, А — алгебра, L(A) — соответствующая алгебра Ли, a U(L) — обертывающая алгебра для L (см. параграф 5.2);
(в)
HomCog(k[X], С) S Homset(X, G(C)),
где X — некоторое множество, к[Х] — соответствующая коалгебра (см. параграф 3.1, пример 3), a G(C) — множество групповых элементов коалгебры С.
5. Пусть I — некоторое множество, Vect1 — категория, объектами которой являются семейства (?/г)іє/ векторных пространств, занумерованных элементами из I. Множество морфизмов в Vect1 из (Ui)i в (Vi)i есть произведение Піє/ Hom([/2, V1). Для произвольного векторного пространства U положим A(U) = (Ui)i, где Ui = U для всех г Є I. Покажите, что А определяет функтор из Veet в Vect1 и что прямая сумма ф и прямое произведение П векторных пространств определяют функторы ф, П : Vect1 —> Veet. Докажите, что функтор диагонали Д является правым присоединенным к функтору ф и левым присоединенным к функтору !"[.
