Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
359
/ <8> F(U)
1F(U)
?>0®idF(c/)
-> F(U)
F(Iu)
(4.2)
F(I)QF(U) V2{I'U) > F(IQU)
и
F(U)Ql
rF(U)
idF(l/)®v>o
F(U)
F{ru)
(4.3)
F(U)QF(I) MUJ) > F(UQl)
коммутативны для любых объектов (U, V, W) из С. Говорят, что тензорный функтор (F,ipo,ip2) строгий, если изоморфизмы ipo и (р2 являются тождественными в Т>.
(б) Естественное тензорное преобразование rj: (F,(po,(p2) —> (F',<р'0,<р'2) между тензорными функторами из С в V — это естественное преобразование г]: F —>¦ F' такое, что для любой пары (U, V) объектов из С следующие диаграммы коммутативны:
F(I)
V(I)
F'(I)
F(U)QF(V)
ч>2 (u,v)
» F(UQV)
и
V(U)Qv(V)
n(u®v) (4.4)
F'(U) Q F'(V) y'2(t/'y)) F1(UQV)
Естественный тензорный изоморфизм — это естественное тензорное преобразование, которое является естественным изоморфизмом.
(в) Тензорная эквивалентность между тензорными категориями — это тензорный функтор F: С —>¦ V такой, что существует тензорный функтор F': V —> С и естественные тензорные изоморфизмы
V ¦ idv -=-> FF' и в: F1F -=-> idc •
В случае, когда существует тензорная эквивалентность между CnV, мы говорим, что категории С и Т> тензорно эквивалентны. Заметим, что если (F, ?><ь?>2) и (-F', ?>'о, 1P2) — составимые тензорные360
Глава 11. Тензорные категории
функторы, то такова и их композиция (F'F, F'((po)(p'0, F1(Ip2)1P2)- Тождественный функтор является строгим тензорным функтором.
Обозначим через Tens(C1V) (соответственно Tensstr(C,V)) категорию, объектами которой являются тензорные функторы (соответственно строгие тензорные функторы) из С в V, а морфизмами — естественные тензорные преобразования.
Пример 1. Пусть А — некоторая биалгебра. Функтор забывания, сопоставляющий каждому А-модулю соответствующее векторное пространство, является строгим тензорным функтором.
ПРИМЕР 2. Пусть / : Ai —> A2 — гомоморфизм биалгебр. Для данного .Аг-модуля V мы можем задать на V структуру Аі-модуля следующим образом: а ¦ v = f(a)v для а Є Ai и v Є V. Эта конструкция дает строгий тензорный функтор /* из A2-Mod в Ai-Mod.
Мы встретимся с нашими первыми примерами нестрогих тензорных функторов в главе 15, посвященной квазибиалгебрам.
11.5. Превращение тензорных категорий в строгие
Так как тензорное умножение в тензорных категориях ассоциативно только с точностью до изоморфизма, нужно тщательно следить за расстановкой скобок. Это довольно утомительно, и возникает желание избегать этого насколько возможно. Сейчас мы продемонстрируем метод решения этой проблемы: для данной тензорной категории С = (C,<g>,I,a,l,r) мы построим строгую тензорную категорию Cstr, которая тензорно эквивалентна С. Это делается следующим образом.
Пусть S — класс конечных последовательностей S = (?,... ,Vfc) объектов категории С, включающий пустую последовательность 0. Целое к называется длиной последовательности S = (?,... ,Vit). Длина пустой последовательности полагается равной 0. Для непустых последовательностей S = (Vi,... , Vit) и S' = (Vfc+i,... , Vfc+n) из S обозначим через S * S' последовательность
5 * 5' = (Vi,... , Vfc, Vfc+1,... , Vfc+n), (5.1)11.5. Превращение тензорных категорий в строгие
361
полученную приписыванием S' к 5. Положим также 5*0 = 5 = 0*5. Каждой последовательности 5 из S сопоставим объект F(S) из С, определенный индуктивно:
F(0) = I, F((V)) = V, F(S * (F)) = F(S) ® V.
Другими словами,
F((Vi,V2, ..., Vk-U Vk)) = ((... (V1 ® V2) <8> •..) ® Ffc-i) ® Fb (5.2)
где все открывающие скобки стоят слева от V\.
Теперь мы готовы определить категорию Cstr-. ее объектами являются элементы S, то есть конечные последовательности объектов из С, а множество морфизмов есть
Horner (5,5') = Homc(F(5),F(5')).
Таким образом, получается категория, тождественные морфизмы и композиция в которой берутся из С.
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству того, что Qstr есть строгая тензорная категория, эквивалентная С.
Предложение 11.5.1. Категории Cstr и С эквивалентны.
Доказательство. Отображение F, определенное выше для объектов категории Cstr, продолжается до функтора F: Cstr —> С, который тождественен на морфизмах, а значит, вполне точен. Так как для каждого объекта V из С мы имеем V = F((V)), где (V) — последовательность длины 1, функтор F существенно сюръективен. Ввиду предложения 1.5 это доказывает наше утверждение. Заметим, что равенство G(V) = (V) задает функтор G: С —> Cstr, который является эквивалентностью, обратной к F. Действительно, мы имеем FG = і de и в -. GF —> idestr с помощью естественного изоморфизма
0(5) = idF(S): GF(S) -)-5. ?
Теперь мы зададим на Cstr структуру строгой тензорной категории. Определение тензорного произведения объектов из Cstr просто: мы полагаем 5 <8> 5' = 5*5'. Оно, очевидно, ассоциативно на объектах.362
Глава 11. Тензорные категории
Чтобы определить тензорное произведение двух морфизмов категории Cstr, сначала построим изоморфизм
tp(S, S'): F(S) ® F(S') ->¦ F(S * S')
для любой пары (S,S') объектов из Cstr. Этот изоморфизм определяется индуктивно по длине последовательности S'. Сначала положим (p(9,S) = Is и <p(S,Q) = rs. Далее,