Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 105

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 199 >> Следующая


359

/ <8> F(U)

1F(U)

?>0®idF(c/)

-> F(U)

F(Iu)

(4.2)

F(I)QF(U) V2{I'U) > F(IQU)

и

F(U)Ql

rF(U)

idF(l/)®v>o

F(U)

F{ru)

(4.3)

F(U)QF(I) MUJ) > F(UQl)

коммутативны для любых объектов (U, V, W) из С. Говорят, что тензорный функтор (F,ipo,ip2) строгий, если изоморфизмы ipo и (р2 являются тождественными в Т>.

(б) Естественное тензорное преобразование rj: (F,(po,(p2) —> (F',<р'0,<р'2) между тензорными функторами из С в V — это естественное преобразование г]: F —>¦ F' такое, что для любой пары (U, V) объектов из С следующие диаграммы коммутативны:

F(I)

V(I)

F'(I)

F(U)QF(V)

ч>2 (u,v)

» F(UQV)

и

V(U)Qv(V)

n(u®v) (4.4)

F'(U) Q F'(V) y'2(t/'y)) F1(UQV)

Естественный тензорный изоморфизм — это естественное тензорное преобразование, которое является естественным изоморфизмом.

(в) Тензорная эквивалентность между тензорными категориями — это тензорный функтор F: С —>¦ V такой, что существует тензорный функтор F': V —> С и естественные тензорные изоморфизмы

V ¦ idv -=-> FF' и в: F1F -=-> idc •

В случае, когда существует тензорная эквивалентность между CnV, мы говорим, что категории С и Т> тензорно эквивалентны. Заметим, что если (F, ?><ь?>2) и (-F', ?>'о, 1P2) — составимые тензорные 360

Глава 11. Тензорные категории

функторы, то такова и их композиция (F'F, F'((po)(p'0, F1(Ip2)1P2)- Тождественный функтор является строгим тензорным функтором.

Обозначим через Tens(C1V) (соответственно Tensstr(C,V)) категорию, объектами которой являются тензорные функторы (соответственно строгие тензорные функторы) из С в V, а морфизмами — естественные тензорные преобразования.

Пример 1. Пусть А — некоторая биалгебра. Функтор забывания, сопоставляющий каждому А-модулю соответствующее векторное пространство, является строгим тензорным функтором.

ПРИМЕР 2. Пусть / : Ai —> A2 — гомоморфизм биалгебр. Для данного .Аг-модуля V мы можем задать на V структуру Аі-модуля следующим образом: а ¦ v = f(a)v для а Є Ai и v Є V. Эта конструкция дает строгий тензорный функтор /* из A2-Mod в Ai-Mod.

Мы встретимся с нашими первыми примерами нестрогих тензорных функторов в главе 15, посвященной квазибиалгебрам.

11.5. Превращение тензорных категорий в строгие

Так как тензорное умножение в тензорных категориях ассоциативно только с точностью до изоморфизма, нужно тщательно следить за расстановкой скобок. Это довольно утомительно, и возникает желание избегать этого насколько возможно. Сейчас мы продемонстрируем метод решения этой проблемы: для данной тензорной категории С = (C,<g>,I,a,l,r) мы построим строгую тензорную категорию Cstr, которая тензорно эквивалентна С. Это делается следующим образом.

Пусть S — класс конечных последовательностей S = (?,... ,Vfc) объектов категории С, включающий пустую последовательность 0. Целое к называется длиной последовательности S = (?,... ,Vit). Длина пустой последовательности полагается равной 0. Для непустых последовательностей S = (Vi,... , Vit) и S' = (Vfc+i,... , Vfc+n) из S обозначим через S * S' последовательность

5 * 5' = (Vi,... , Vfc, Vfc+1,... , Vfc+n), (5.1) 11.5. Превращение тензорных категорий в строгие

361

полученную приписыванием S' к 5. Положим также 5*0 = 5 = 0*5. Каждой последовательности 5 из S сопоставим объект F(S) из С, определенный индуктивно:

F(0) = I, F((V)) = V, F(S * (F)) = F(S) ® V.

Другими словами,

F((Vi,V2, ..., Vk-U Vk)) = ((... (V1 ® V2) <8> •..) ® Ffc-i) ® Fb (5.2)

где все открывающие скобки стоят слева от V\.

Теперь мы готовы определить категорию Cstr-. ее объектами являются элементы S, то есть конечные последовательности объектов из С, а множество морфизмов есть

Horner (5,5') = Homc(F(5),F(5')).

Таким образом, получается категория, тождественные морфизмы и композиция в которой берутся из С.

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству того, что Qstr есть строгая тензорная категория, эквивалентная С.

Предложение 11.5.1. Категории Cstr и С эквивалентны.

Доказательство. Отображение F, определенное выше для объектов категории Cstr, продолжается до функтора F: Cstr —> С, который тождественен на морфизмах, а значит, вполне точен. Так как для каждого объекта V из С мы имеем V = F((V)), где (V) — последовательность длины 1, функтор F существенно сюръективен. Ввиду предложения 1.5 это доказывает наше утверждение. Заметим, что равенство G(V) = (V) задает функтор G: С —> Cstr, который является эквивалентностью, обратной к F. Действительно, мы имеем FG = і de и в -. GF —> idestr с помощью естественного изоморфизма

0(5) = idF(S): GF(S) -)-5. ?

Теперь мы зададим на Cstr структуру строгой тензорной категории. Определение тензорного произведения объектов из Cstr просто: мы полагаем 5 <8> 5' = 5*5'. Оно, очевидно, ассоциативно на объектах. 362

Глава 11. Тензорные категории

Чтобы определить тензорное произведение двух морфизмов категории Cstr, сначала построим изоморфизм

tp(S, S'): F(S) ® F(S') ->¦ F(S * S')

для любой пары (S,S') объектов из Cstr. Этот изоморфизм определяется индуктивно по длине последовательности S'. Сначала положим (p(9,S) = Is и <p(S,Q) = rs. Далее,
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed