Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
i: ® (i x id)
id
(соответственно г : ® (id х /) —> id). 352
Глава 11. Тензорные категории
Это означает, что для любого объекта V категории С имеется изоморфизм
Iv : I ® V —> V (соответственно гу : V ® / —> V) (2.7) такой, что диаграммы
I®V V V®I V
jid/®/ / (соответственно j/®id/ |/ j (2.8)
I®V V' V' ® I -?- V
коммутативны для любого морфизма /.
Будем говорить, что данные условие ассоциативности а, левое и правое условия единицы I, г по отношению к объекту J удовлетворяют аксиоме треугольника, если треугольник
(v®i)®w-a^--> V ®(I® W)
4V (2.9)
V ®W
коммутативен для любой пары объектов (V, W).
Определение 11.2.1. Тензорная категория (C,®,I,a,l,r) —это некоторая категория С с заданным на ней тензорным произведением ®: С X С —)• С, объектом I, называемым единицей тензорной категории, с условием ассоциативности а, с левым и правым условиями единицы по отношению к I такими, что выполнены аксиома пятиугольника (2.6) и аксиома треугольника (2.9).
Тензорная категория называется строгой, если условия ассоциативности и единицы а,1,г задаются тождественными морфизмами в этой категории.
Примеры тензорных категорий будут приведены в параграфе 3. 11.2.2. Свойства единицы
Пусть (С, ®, I, а, I, г) — тензорная категория. Сформулируем несколько свойств, которыми обладает ее единица I. 11.2. Тензорные категории
353
Лемма 11.2.2. Треугольники (.I®V)®W -
Оч,V,W
-> I®(V®W)
v®w
(V®W)®I
av,w,i
-V®{W®I)
v®w
коммутативны для любой пары (V,W) объектов С. Доказательство. Рассмотрим диаграмму
(U® (I®V)) ® W
((U ® I) ® V) ® W
(U®(I®V))®W
(ry®idv)®idvi/ (id(/®fy)®idvy
(U ®V) ®W
U®(V®W)
r(/®idvg,vi'
(U ® I) ® (V ® W)
id(/®(iv®id>v)
idu®lv®w U®((I®V)® W)
id(/®o
U® (I®(V®W)).
Здесь мы для упрощения опустили индексы у условия ассоциативности а. Внешний шестиугольник коммутирует согласно аксиоме пятиугольника (2.6). Коммутативность диаграммы (2.5) для условия а 354
Глава 11. Тензорные категории
влечет коммутативность двух средних квадратов, а (2.9) — коммутативность верхнего квадрата и левого нижнего треугольника. Следовательно, правый нижний треугольник также коммутативен. Полагая U = I, получаем
id/ <8> (W®w ° a) = id/ <8> (Iv ® idw)-
Вместе с естественностью условия левой единицы (2.8) и тем фактом, что I есть изоморфизм, это соотношение влечет IvigiW ° a = Iv idw, то есть коммутативность верхнего треугольника в лемме 2.2. Доказательство для второго треугольника аналогичное. ?
Лемма 11.2.3. Пусть I — единица тензорной категории. Тогда для любого объекта V мы имеем
h®v = id/ <8> Iv, rv®i = rv <8> id/ и Ii = ri.
Доказательство. Из естественности (2.8) условия единицы I мы имеем Iv ° h®v — W ° (id/ <8> W)- Из того что Iv — изоморфизм, мы получаем первое равенство леммы. Аналогичным образом, второе равенство является следствием естественности г.
Докажем, что Ii = Из леммы 2.2 и первого равенства леммы 2.3 мы имеем
Ii <8> id/ = J/®/ о a = (id/ <8> Ii) ° а.
Из (2.9) мы получаем г/ <8> id/ = (id/ <8> h) ° о,. Комбинируя эти соотношения, получаем Ii <8> id/ = г/ <8> id/. Отсюда следует // = г/ ввиду того факта, что г является естественным изоморфизмом. ?
Мы готовы доказать основной результат этого пункта.
Предложение 11.2.4. Множество End(J) эндоморфизмов единичного объекта I является коммутативным моноидом относительно операции композиции. Более того, для любой пары (f,g) эндоморфизмов этого объекта I выполнены соотношения
f <g> g = g <g> / = rf1 о (/ о д) о г/ = rjl о (д о /) о г/.
Другими словами, если отождествить / <8> / и / с помощью изоморфизма г і = її, то тензорное произведение морфизмов в End(Z) будет совпадать с их композицией. 11.3. Примеры тензорных категорий
355
доказательство. Операция композиции задает на End(J) структуру моноида, единицей в котором является id/. Докажем, что он коммутативен. Из (2.8) мы имеем
/ <8> id/ = rj1 о f о г/ и id і <S> д = IJ1 о д о Ii-
Сопоставление равенства г/ = Ii из леммы 2.3 с соотношениями (2.3) дает
/ <g> д = rj1 О (/ о д) о ГI = rj1 О (д о /) о г/ = д <8> /. Отсюда следует, что / о д = д о f. ?
11.3. Примеры тензорных категорий
В этой книге мы имеем дело с двумя основными типами тензорных категорий. В основе первого типа векторные пространства и их тензорные произведения, введенные в главе 2. Второй тип использует 1-мер-ные объекты из главы 10, такие как зацепления, плетения и косы. Мы укажем связь между ними в главе 12.
11.3.1. Тензорные категории векторных пространств
Самым фундаментальным примером тензорных категорий является категория С = Vect(к) векторных пространств над полем k. На ней задается тензорная структура, в которой функтор <8> есть тензорное произведение (определенное в параграфе 2.1) векторных пространств над к, единицей / является само основное поле к, а условиями ассоциативности и единицы являются естественные изоморфизмы
а((и <g> v) (8> w) = и <g> (v <g> w) и Z(1 <g> v) = v = r(v <g> 1) (3.1)
