Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
11.1.3. Присоединенные функторы
Мы завершаем изложение предварительных сведений о категориях введением понятия присоединенного функтора. Кале будет видно из предложения 1.8, а также из примеров в этом параграфе и упражнений в конце главы, понятие присоединенного функтора есть не что иное, как перевод на категорный язык понятия универсального свойства.
Определение 11.1.7. Пусть F: С Т> и G: V-^C — некоторые функторы. Тогда говорят, что F есть правый присоединенный функтор к G или что G есть левый присоединенный к F, если существуют естественные преобразования г): id-p —> FG и в : GF idc такие, что композиции отображений
F{V) ^U (FGF)(V) F(F)
G{W) (GFG)(W) J^U G(W)
являются тождественными морфизмами для всех объектов V из С и всех W из Т>.
Следующее утверждение характеризует присоединенные функторы в терминах естественных биекций.
Предложение 11.1.8. Пусть F: С V и G \ V С — некоторые функторы. Тогда F является правым присоединенным к G тогда и только тогда, когда для всех объектов V категории С и всех объектов W из Т> имеется естественная биекция
Ф(У, W): Home(G(VF), V) ->• Hom©(W, F(V)), 11.1. Язык категорий и функторов
349
то есть такая, что для всех морфизмов f из категории С и всех морфизмов g из Т> диаграмма
Нотc(G(W'),V) Ф(У'И") ) Нотv(W',F(V))
Hom(G(ff),V)
Hom(s,F(V))
Homc(G(PV)5F) HV'W) ) Нотv(W,F(V))
Hom(G(W),/)
Hom(W)F(Z))
Homc(G(PV)5V) *{v''w)) Нотv(W,F(V'))
коммутативна, где V = s(f), V' = b(f), W = s(g) и W' = b(g).
Доказательство. Вертикальные отображения в приведенной выше диаграмме есть очевидные отображения, получаемые композицией с /, F(f), g и G(g). Мы дадим лишь набросок доказательства предложения. Подробности см. в [Мас71, гл.4].
(а) Пусть F — правый присоединенный функтор к G. Положим $(V,W)(f) = F(f) or](W) для любого морфизма /: G(W) V и
tV)(s) = O(V) о G(g) для любого морфизма g : W F(V). Используя определение присоединенных функторов, можно проверить, что отображение <?(V, W) биективно и обратное к нему есть W).
(б) Предположим, дана биекция <?(V, W) с указанными свойствами. Мы должны построить естественные преобразования rj: idp —> FG и в : GF —> іdc. Они определяются следующим образом:
r}(W) = <Z(G(W),W)(idG(w)) и W^-^V.iWHid^).
Читатель легко проверит, что г] и в являются естественными преобразованиями. ?
Эквивалентность категорий всегда является левой и правой присоединенной к любой другой эквивалентности. Дадим два примера присоединенных функторов, с которыми мы фактически уже встречались в этой книге. 350
Глава 11. Тензорные категории
Пример 5. (Свободная алгебра, ассоциированная с множеством.) Пусть X — некоторое множество, а к{Х} — свободная алгебра, порожденная X, как в параграфе 1.2. Тогда X к{Х} есть левый присоединенный функтор к функтору забывания, приписывающему каждой алгебре множество ее элементов.
Пример 6. (Тензорные произведения.) Любое линейное пространство V определяет два функтора F, и G из категории векторных пространств в себя: F(U) = Нот(У,{7) и G(U) = U ® V. Естественный изоморфизм
Нот(U ® V, W) = Hom([7, Нот(Vr, W))
из следствия 2.1.2 показывает, что функтор G левый присоединенный к F.
11.2. Тензорные категории 11.2.1. Определения
Пусть С — некоторая категория, ® — функтор из С х С в С. Это означает, что
(а) для каждой пары (V, W) объектов категории С дан ассоциированный с ними объект V ® W,
(б) имеется морфизм / ® д, ассоциированный с каждой парой (/, д) морфизмов в С такой, что
s(f <8> д) = s(f) <8> s{g) и b(f ® д) = b(f) ® Ъ(д),
(в) если f'ng' — морфизмы такие, что s(f') = b(f) и s(g') = b(g),
то
(Ґ ® д') °(f®g) = (f о /) ® (д' о д), (2.1)
(г)
idy®vK = idy <8» idly- (2.2) Из соотношения (2.1) следует, что
f®g = (f® id%)) о (ide(/) ®д) = (id6(/) ® д) о (/ <g> ide(ff)). (2.3) 11.2. Тензорные категории
351
Пример 1. Пусть С = Vect(Ik) — категория векторных пространств над полем к. Тогда тензорное произведение линейных пространств (см. параграфы 2.1, 2.2) определяет функтор из С х С в С.
Произвольный функтор ® '• С х С —> С будет называться тензорным произведением по аналогии с примером 1. Пусть С — категория с тензорным произведением ®. Условием ассоциативности для ® называется некоторый естественный изоморфизм
а: ® (® X id) <g)(id х ®).
Это значит, что для любой тройки (U, V, W) объектов категории С имеется изоморфизм
au,v,w : (U ® V) ® W ->¦ U ® (V ® W) (2.4)
такой, что квадрат
au,v,w
(U ®V)® W
-> U®(V®W)
f®(g®h)
(U'®V')®W au''V'Wl > U'®(V'®W')
(f®g)®h
(2.5)
коммутативен для произвольных морфизмов f, g, h категории С.
Мы говорим, что условие ассоциативности а удовлетворяет аксиоме пятиугольника, если пятиугольная диаграмма
(и ® (V ® W)) ® X
a-u,v®w,x
U ® ((V ® W) ® X)
id u®av,w,x
{(U ® V) ® W) ® X
"¦UlgiV,W,X
(U® V) ® (W®*)
"t/.v.wisx
(2.6)
коммутативна для любых объектов U, V, W, X из С.
Зафиксируем объект J в нашей категории. Условием левой единицы (соответственно условием правой единицы) по отношению к J называется естественный изоморфизм
