Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий - Каштан И.Г.
Скачать (прямая ссылка):
?<100> = 4 Ае-Вг^К (2.30)
Формула (2.30), однако, упрощает ситуацию; см. пункт 4.15 в [29], а также [105], где развита более реалистическая процедура оценки Ed-
2.3. Рассеяние в молекулярных пучках. Исследование столкновений в атомных и молекулярных пучках является наиболее прямым способом изучения парных взаимодействий [106—110]. В экспериментах по рассеянию измеряется ток в детекторе, расположенном под некоторым углом к оси пучка. Пучок характеризуется энергией частиц Е0 и плотностью тока 10. Угловое распределение монохроматического пучка упругорассеяиных частиц характеризуется дифференциальным сечением рассеяния do (0, Е0). Последнее определяется как отношение числа частиц dN(Q), рассеянных в единицу времени в интервале углов (0, 0 h d0), к плотности тока /0;
dcr(e, E0)=~j-dN(Q). (2.31)
Поскольку /0 равно числу частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади, т. е. имеет размерность LT2T_1, а размерность dN(B) •— Т"*1, то дифференциальное сечение имеет размерность площади. Его принято выражать через так называемую амплитуду рассеяния / (0, Е0):
do (0, Е0) = do = | / (0, Е0) |а 2л sin0 dQ; (2.32)
do = 2л sin 0 dQ — элемент телесного угла.
Согласно квантовой теории рассеяния в поле силового центра [111, 112], волновая функция рассеянной частицы с волновым вектором к = mv/fl и угловым моментом I имеет следующий асимптотический вид:
Дw (г)да-f sin {кг ~ "Г" + б<) > <2'33>
254 ГЛ. V. НАХОЖДЕНИЕ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
где Ьг — фазовый сдвиг. От вида потенциала зависит только фаза. Именно в фазовых сдвигах содержится вся информация о рассеивающем потенциале. Амплитуда рассеяния выражается через фазовые сдвиги известным соотношением Факсена—Хольцмарка:
оо
где Pi (cos 6)'— полином Лежандра. Отметим, что выражение (2.34) комплексно. Экспериментально измеряемое сечение рассеяния определяется квадратом модуля (2.34):
|/(0, к) |2 = А2 + В\ (2.35)
1=4) oo
- ^ (2Z + 1) sin 26^ (cos0).
(2.36)
5 =
2/C
Ряды (2.36) являются сходящимися [112]. Однако точно просуммировать их с помощью известных функций удается лишь в случае кулонова поля. В этом случае квантовое сечение рассеяния имеет тот же вид, что и в классической теории, т. е. приводится к формуле Резерфорда:
- ( ЪЪ' \% 1 (2 ЧЪ
ао ~\2т^* ) виг» (0/2) '
В двух крайних случаях: бг ^ 1 (приближение Борна) и бг 1 (квазиклассическое приближение) — могут быть получены формулы, позволяющие в явном виде связать амплитуду рассеяния с рассеивающим потенциалом V (г).
Приближение Борна справедливо для быстрых частиц, когда взаимодействие можно рассматривать как малое возмущение к кинетической энергии. В этом случае 6{ <^ 1 и может быть выражено через V (г) следующим образом:
2тк
\v(r)ii(r)rdrt (2.38)
где ]г (г) — сферическая функция Бесселя. Для амплитуды рассеяния справедлива формула Борна:
00
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 255
где 7 — величина вектора ц — к' — к (к' — волновой вектор частицы после рассеяния). Формула Борна выводится в первом порядке теории возмущений, но может быть получена и из общей формулы (2.34), если, воспользовавшись малостью 61, разложить экспоненту и подставить явное выражение для бг (2.38).
Случай больших 6^ отвечает квазиклассическому приближению. Фазовые сдвиги в этом случае удовлетворяют соотношениям
2^±в(р) = 0, (2.40)
dl
Из соотношений (2.40), (2.41) следует классическое выражение (2.16) для зависимости угла рассеяния 0 (р) от прицельного параметра'. Согласно (2.40)
oi ~ Z0 (р). (2.42)
Для квадрата амплитуды рассеяния имеет место следующее выражение через прицельный параметр и производную от 0 (р):
l/(0)l2 = W(pf—• <2-43)
"7р—sin0
Зависимость от потенциала взаимодействия входит в (2.42) неявным образом через 0 (р) (см. (2.16)). Для сечения получаем классическое выражение г)
do (0) = | / (0) | 2 2л. sinO dQ = -2лр ф. (2.44)
Интегрируя правую часть (2.44) от 0 до р, что отвечает интеграции левой части по 0 от я до 0, получаем выражение прицельного параметра через эксприменталыю измеряемое сечение рассеяния:
it я
р2 = JL ^do (0) = 2 jj I / (0) р sin 0 dQ. (2.45)
о 0
Итак, приближенные соотношения, связывающие явно амплитуду рассеяния с потенциалом, имеют место в двух дополняющих ДРУГ Друга приближениях. В промежуточных случаях необходимо использовать точный метод решения. Сформулируем условия применимости описанных выше приближений более подробно.
Классическое приближение, за исключением случая очень малых углов рассеяния, справедливо, когда для характеристики рассеяния необходимо задать большое число фаз, многие из
г) Минус в правой части (2.44) отражает тот факт, что росту 9 отвечает уменьшение р.
256 ГЛ. V. НАХОЖДЕНИЕ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
которых велики. Приближение Борна справедливо, когда все фазовые сдвиги малы, причем при больших углах оно является менее точным, чем при малых. Для формулировки количественных критериев будем считать, что поле сосредоточено в основном в области с линейным размером а и величина потенциала в этой области порядка D. Тогда условие
