Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий - Каштан И.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера определения параметров потенциала из системы уравнений опишем процедуру нахождения параметров потенциала Морзе для кубических кристаллов, предложенную в' работе Гирифалько и Вайзера [28].
Авторы исходят из полной энергии кристалла, записанной через парные взаимодействия. Выражение для нее может быть по
2 т.т 2 Г 6'2^ 1
§ 2, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 251
лучено, если вычислить взаимодействие одного атома со всеми атомами решетки, а затем умножить на число атомов N и разделить на 2, чтобы не учитывать каждое взаимодействие дважды:
Е=~П ^ [е-^Г* ~ 2е~а(гГГа)]; (2.22)
Г] — расстояние от начала координат до /-го атома. Удобно, далее, ввести обозначения
Ь = Г/^0, Р = с0"*», г$ = [т] -|• п) -|- С)\а = М^а, (2.2.3)
где nj, І] — координаты атома в решетке, В этих обозначениях выражение (2.22) записывается как
з і
(2.24)
Если обозначить равновесное расстояние в решетке при нулевых температуре и давлении через а0, то значение Е (а) при а0 даст
энергию сублимации Uq, dEjda в точке а0 равно нулю, а
определяется сжимаемость кристалла Zoo- В результате имеем три уравнения
E(a0)-U0l (2.25)
clE
с/а
о,
1
= F0
Г d?E 1 _ 1 Г d*E 1
L aV* J а0 Sic/Va0 da*
(2.26) (2.27)
для нахождения трех параметров а, I), г0 (с — численный коэффициент, с = 4 для объемно-центрированной, с = 2 для гране-центрированной решеток). При этом используются экспериментальные значения энергии сублимации II0, сжимаемости К00 и постоянной решетки а0. Полученные параметры апробировались далее по упругим константам, которые рассчитывались согласно соотношениям
еивж5т'(^"^г)'К(г,)'
а* Vі 2 2 Сіа = с44 = —=7 2j
і__d_
Гі dr.
(2.28)
где V (гу) — потенциал, V — объем на і атом.
Таким путем в работе [28] были найдены параметры потенциала Морзе для 16 металлов с кубической решеткой. В табл. У.6 приведены значения параметров потенциала Морзе для этих металлов, а также рассчитанные и экспериментальные значения
252 ГЛ. V. НАХОЖДЕНИЕ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Таблица У.6. Значения параметров потенциала Морзе для кубических металлов и их апробация на упругих постоянных [28]
Металл а,
Го, А
С, ЭВ
расчет эксперимент
С1ИО-"
расчет эксперимент
1>1| Аг М1 Си А1 Он
аг
Мо V/ . сг Ре В а К
С* 14Ь
1,1831)
1,3090
1,4199
1,3588
1,1646
0,80535
0,7377(3
1,5079
1,4116
1,5721
1,3885
0,65698
0,49767
0,58993
0,41569
0,42981
3,733 3,115 2,780 2,866 3,253 4,569 4,988 2,976 3,032 2,754 2,845 5,373 6,369 5,336 7,557 7,207
0,2348
0,3323
0,4^05
0,3429
0,2703
0,1623
0,1513
0,8032
0,9906
0,4414
0,4174
0,1416
0,05424
0,06334
0,04485
0,04644
0,5565 1,3239 2,3292 1,7424. 0,9390 0,2079
Г,'9408
3,3828
2,0128
1,8586
0,10579
0,0345
0,0712
0,01800
0,0233
0,67 (0 К)
1,240
2,50
1,762 (0 К) 1,129
4,6 5,01
2,37
0,0459 (77 К) 0,0945,(90 К)
0,3705 0,8959 1,6348 1,2309 0,6721 0,1509
2,8944 3,2773 1,9625 1,6735 0,0919 0,0282 0,0578 0,0146 0,0187
0,57 (0К)
0,934
1,60
1,249 (0 К) 0,665
1,79 1,98
1,41
0,0372,(77 К) 0,0779 (90 К)
упругих постоянных. Согласие, за исключением нескольких металлов, вполне удовлетворительное. Следует отметить, что экспериментально соотношение Коши с12 = с44, справедливое в случае центральных сил, не выполняется ни для одного из рассмотренных металлов. Это связано с влиянием электронного газа на иои-ионыые взаимодействия. Теоретический расчет уравнения состояний с найденным потенциалом Морзе дал хорошее согласие с экспериментальными значениями для всех 16 металлов.
В последние годы получили распространение методы нахождения отталкивательной части потенциала в твердом теле из экспериментальных данных по радиационным повреждениям в твердых телах и эффектам, связанным с облучением кристаллов быстрыми ионами [1011. Используются явление фокусирования кинетической энергии вдоль некоторого направления в решетке 1), каналиро-рование частиц через тонкие пленки, измерение пороговой энергии смещения атома в решетке. Так, энергия фокусирования Е] может быть выражена через параметры потенциала Борна—Майера [102, 103]. Как показано в [103], имеет место следующее приближенное соотношение:
Е1 = 2Ае~Вг°1\
(2.29)
х) Явление фокусирования состоит в последовательности упругих соударений атомов вдоль некоторого ^направления в кристалле при малом передаваемом моменте в перпендикулярном направлении. В результате энергия передается на расстояния гораздо большие, чем это имеет место в аморфных телах.
S 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 253
где г0 — расстояние между ближайшими соседями. В качестве второго уравнения может быть использовано выражение для сжимаемости. Таким путем Томсон [104] определил параметры потенциала Борна — Майера для золота. Предложенный им потенциал
V (/¦) 2-']0rvr-r>^,
где V —- в о В, г — в А.
Для некоторых направлений в простых решетках энергия смещения Еа также, может быть выражена через потенциал Борна — Майера. Так, энергия смещения в гранецоитрированной кубической решетке в направлении <100> равна
