Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий - Каштан И.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где Уг (г) — произвольно выбранный потенциал со спектральной функцией рх (Е), функция К (г, г') является решением интеграль
[122, 123].
(3.13)
V(r) = 2JLK(r,r') + Vi(r),
(3.14)
9* И. Г. Каплан
туду рассеяния непосредственно с рассеивающим потенциалом, могут быть сформулированы лишь в двух предельных случаях: в приближении Борна, когда бг <^1 (см. (2.39)), и в квазиклассическом приближении, когда бг5§> 1 (см. (2.45) и (2.16)). В остальных случаях амплитуда рассеяния связана с рассеивающим потенциалом только косвенно, через фазовые сдвиги. При этом извлечение информации об амплитуде рассеяния и о величинах фазовых сдвигов из экспериментальных значений сечений рассеяния также является далеко не тривиальной задачей
262 ГЛ. V. НАХОЖДЕНИЕ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
ного уравнения типа Фредгольма:
г
К (г, г') = І (г, г') + 5 К (г, х) І г') <*с,
(3.15)
и
где вспомогательная функция:
Є (г, г') = $ ф1 (Е, г) фі (Е, г') [<2р! (Я) - (?)]
(3.16)
определяется через известное решение фх (.?", г) радиального уравнения Шредингера с потенциалом Уг(г).
Решение единственно, причем для каждого набора фазовых сдвигов бг и энергий Ет связанных состояний существует семейство п-параметрических фазово-эквивалеитных потенциалов, где п — число связанных состояний. Обратная задача рассеяния и связанные с ней проблемы широко обсуждались в отечественной математической литературе [134—136], см. также [137].
Для фиксированного значения энергии, ио неопределенного значения углового момента обратная задача была рассмотрена в работах Редже и Ньютона [132, 133]. Если волновые функции состояний с фиксированным значением углового момента и различной энергией образуют полный набор, то волновые функции состояний с фиксированным значением энергии и всевозмояшьгми значениями углового момента полного набора не образуют. Это обстоятельство не позволяет применить теорему полноты (3.13) для нахождения спектральной функции, что затрудняет решение обратной задачи. Хотя количество работ, посвященных решению обратной задачи для фиксированной энергии, очень велико, разработанные процедуры неустойчивы к небольшим разбросам экспериментальных данных, к тому же дают бесконечное множество эквивалентных решений [122].
В целом приходится констатировать, что, несмотря на элегантную математическую формулировку, практическое применение развитых квантовомеханических процедур решения обратной задачи рассеяния очень затруднено. Во-первых, они требуют полноты вводимой экспериментальной информации. Так, в методе Гельфанда — Левитана требуется знание фазовых сдвигов 6\ для всех энергий связанных состояний. Вопрос о том, как повлияет на решение отсутствие части информации, остается открытым. Во-вторых, требуется решать досточно сложное интегральное уравнение. Для устранения неопределенности, заключающейся в получении семейства эквивалентных потенциалов, необходимо привлекать дополнительную информацию о связанных состояниях.
В связи с этими трудностями практическое применение получили приближенные решения обратной задачи, основанные на квазиклассических подходах.
§ 3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА
263
Квазиклассическое рассмотрение. Метод Фирсова. Впервые метод решения обратной задачи классического рассеяния для монотонного потенциала был дан Хойтом [138]. Метод Хойта требовал знания дифференциального сечения рассеяния о (0) при различных значениях энергии Е. Значительно более удобный метод, требующий знания кривой о* ( 0) только при одном значении Е, был предложен Фирсовым [139]. В дальнейшем проблема восстановления потенциала в квазиклассическом и классическом приближениях разрабатывалась многими авторами. Подробное изложение практических методов восстановления потенциала содержится в обзорах Бака [122].
Нише мы изложим метод Фирсова. В его основе лежит классическое рассмотрение движения ядер. Последнее справедливо, если момент количества движения ядер В^>Л. Угол отклонения 0 должен быть много больше %1Ь. В опытах по рассеянию атомов и молекул эти условия почти всегда выполняются.
В качестве исходного выражения берется соотношение (2.16). Последнее может быть переписано в виде
оо
0 = л - 2р \* Гг"^г _, (3.17)
«) У (1 — 1/ (г)!Е) г2— р2 4
Го
где Е — ти»/2. Для дальнейшего удобно ввести обозначение
и = [1 — V (г)/Е] г2. (3.18)
Поскольку г0 является наименьшим расстоянием и определяется обращением подкоренного выражения в нуль, то, очевидно, и (г0) = [1 — V (г0)/Е] г1 = р2, т. е. замена переменных (3.18) отвечает интегралу от р2 до оо. После замены переменных в интеграле (3.17) переходит в
оо
Ъ*=я-2Р^Ъ)Г . (3.19)
Поскольку непосредственное вычисление показывает, что
У
то (3.19) можно записать в виде
, и'
оо
1п и' о!и' /п ОЛ1
Р1
9**
264 ГЛ. -V. НАХОЖДЕНИЕ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Умножим, далее, (3.21) на dpl\fр2 — и и проинтегрируем по р от Yu .Д°.
Г. Є (г) dp _ Г ро'р Г а 111 У>Д 7 tfa' J_ Ура"ЇГ ~ J У рз _ „ J rfu' у и' _ ра
(3.22)
