Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
~ mc2/(h/mc)
(рис. 26).
В замечательном исследовании Гейзенберга и Эйлера [ 176J введены «эффективные» диэлектрическая и магнитная постоянные вакуума, чтобы учесть эффекты поляризации вакуума для ?<?кр. Доступный обзор этих работ был дан Паули [177].
Позже, в 1951 г. Швингер [178] обобщил подход Клейна — Заутера — Гейзенберга — Эйлера, дав точные оценки для скорости рождения пар в однородном электрическом поле.
Главный шаг в применении подхода Клейна — Заутера — Гейзенберга — Эйлера к физике черных дыр был сделан после установления прямой аналогии между решениями E+ и Е~ квантового поля и введенными в работе [91] решениями, соответствующими положительному и отрицательному корням. Это-отождествление было сделано в работе [179] при анализе клас» сического предела релятивистской теории поля (ft->0), в частности рассмотрении классических пределов состояний с положительной и отрицательной энергиями для квантованного поля
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
457
нулевого спина. Из этого анализа, упрощенного [180] благодаря специальному выбору координат, стало ясно, что введенные в работе [91] классические решения с положительным и отрицательным корнями были просто классическими пределами состояний квантованных полей с положительной и отрицательной энергиями в гравитационном поле.
Согласно этому отождествлению, решения с отрицательным корнем могут интерпретироваться как описывающие частицы, ссли сделать преобразования t° = —/, qc = —q, Ec = —?.
Рис. 26. Диаграмма, иллюстрирующая основные стороны процесса рождения пар статическим потенциалом (воспроизведено из [176]). Области / и III соответствуют решениям E+ и Е~ релятивистского квантового поля. Если градиент потенциала достаточно велик, то будет иметь место «перекрытие уровней» между областями I и III через область II. В областях / и III решения релятивистского волнового уравнения имеют обычную волновую структуру «свободных полей. В области II решение является экспоненциально спадающим, а амплитуда волны, проходящей из области I в область IIIt целиком зависит 4>т этого экспоненциального решения. Амплитуда туннелирования непосредственно зависит от скорости рождения пар. Детали см. в [176—178].
Вблизи поверхности черной дыры, обладающей зарядом и ^или) электромагнитным полем, имеет место перекрытие уровней между решениями с положительным и отрицательным корнями (E+ и E-). Тогда можно применить результаты парадокса Клейна (рис. 27) и заключить, что вблизи поверхности черной дыры должны протекать процессы рождения пар, обусловленные поляризацией вакуума.
Снова ради простоты и определенности ограничимся анализом простейшего возможного случая — поляризации вакуума вблизи черной дыры, находящейся в вакууме, не окруженной плазмой или дополнительным электромагнитным полем. Рассмотрим вначале случай керровской черной дыры.
Пионерские работы по анализу рождения пар, обусловленному «сдвигом» увлечения инерциальных систем в метрике Керра, восходят к Зельдовичу [181, 182]. Важные аналитические свойства решений для квантованных полей на фоне метрики
458
Р. Руффини
Керра были найдены Старобинским [183] и Старобинским й Чуриловым [184]. Унру [185] сформулировал эту задачу в рамках вторично-квантованной теории поля. Детальные результаты для перехода между решениями E+ и ?- для массивного скалярного поля на керровском фоне даны в работах [186] и [146]' (с. 483).
-/i2Mz[(Ez/juz)~1]
/ <W(r+)
и, О Zfi у
-(qM-MEf -/ \^Г+/М
я 6
Рис. 27. Классический (вверху) и квантовый (внизу) эффективные потенциалы для частиц массы \і и заряда q: а — в экстремальной керровской черной дыре (а — Mf jEI\i = 1,5, цМ =1) и 6 —в экстремальной райсснер-норд-стремовской черной дыре (Q ¦= Mi q/\i = 2, E/\i = 1,5, jaM = 1). Перекрытие уровней между решениями с положительным корнем (?+) и отрицательным корнем (?“) обусловлено электромагнитным полем или вращением черной дыры, а также зарядом и угловым моментом пробной частицы. Заштрихованная область между E+ и Е~ соответствует области II на рис. 26: никакие частицы с вещественным импульсом не могут находиться в этой области, которая запрещена для классических частиц (см. также рис. 3 и 16). Туннелирование из областей E+ и Е~ может иметь место на квантовом уровне в полной аналогии с рис. 26. Чтобы описать этот процесс туннелирования, было решено ковариантное уравнение Клейна — Гордона
(Vа + iqAa) (Va + IqAa) Ф = ц2Ф
для заданных фоновой геометрии и вектор-потенциала. В нижней части рисунка показан эффективный потенциал для этого уравнения. Детали см. в
[179].
Основные выводы могут быть резюмированы следующим образом:
1) Вероятность рождения пар из-за «сдвига» керровской черной дыры незначительна, когда комптоновская, а поэтому и де-бройлевская длины волн налетающей частицы малы по сравнению с радиусом черной дыры (ti/цс •< GMfc2 в классических единицах). Поэтому такое явление, подобно процессу Бекен-
Рис. 28. Коэффициент прохождения T2 между решениями E+ и Е~ с положительной и отрицательной энергиями для массивного скалярного поля, удовлетворяющего ковариантному уравнению Клейна — Гордона на керровском фоне, для некоторых значений масс и энергий частиц. Все величины даны в геометрических единицах (G =* с « h =*= I); Q — угловая скорость черной дыры (35). Из этого графика видно, что T2-* 0 при \хМ-* оо и T2 стремится к конечному значению при \ьМ -+¦ 6; максимум имеет место для частиц с энергией E « Q. Детали см. в тексте ив [186] и [146] (с. 483).
