Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
dM = [(L/M) dl + r+Q dQ]/[rl + L2IM2], (31)
определяющему изменение полной массы-энергии черной дыры в результате обратимого захвата пробной частицы с угловым моментом р9 = dL и зарядом q = dQ черной дырой с массой Mt угловым моментом L и зарядом Q.
Интегрирование этих уравнений ведет к массовой формуле Кристодулу — Руффини для черных дыр [91]
» - К.,,.. + + (32)
Это выражение дает полную массу-энергию черной дыры в зависимости от ее массы покоя (тнеприв — неприводимой массы), кулоновской и вращательной энергии. Площадь горизонта черной дыры тогда определяется весьма простым выражением
А = 4л (r\ + а2) = 16<еприв. (33)
В то время как вращательный и электромагнитный вклады в полную массу-энергию черной дыры могут увеличиваться или уменьшаться произвольно, будучи ограниченными лишь условием Q2 + a2 ^ M2 [30], масса покоя черной дыры, наоборот, никогда не может уменьшаться. Это легко видеть из формулы |(32): изменение неприводимой массы черной дыры в результате
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
437
MfQtL
M-Mn
MufQniUt
MtiQtfU
Рис. 18. Обратимые превращения черных дыр. Если мы имеем вначале черную дыру с зарядом Qi угловым моментом L и массой М, то всегда можно добиться изменения ее заряда и углового момента путем захваїа пробной частицы данного углового момента рф и заряда q. Ясно, что захват частицы изменяет также массу черной дыры и придает ей новое значение M'. Действие захвата на угловой момент и заряд черной дыры может быть компенсировано захватом противоположно заряженной частицы с противоположным значением углового момента. В общем случае после захвата двух частиц черная дыра, хотя и будет обладать теми же начальными зарядом и угловым моментом, увеличит свою массу до М" > М. В [91] было, однако, показано, что существует подкласс превращений (обратимых), для которых черная дыра может восстановить прежнее значение начальной массы М" = М. Чтобы достигнуть обратимости, процесс захвата должен происходить бесконечно медленно, а частицы должны обладать нулевой кинетической энергией на горизонте /*+. В этом случае возрастание массы определяется формулами Q' = Q + q, L' = = і + рф> M' = M + (qp9 + r+Qq)/(r\ + a2), Q" = Q'-q, L" = L'-P<r>, AT =* M' — (qpv + r+Qq)/(r\ + a2), a = L/M, r+ = M + (М2 - а*)'1'. Детали
см. в [91].
захвата пробной частицы с энергией Е, угловым моментом р9 и зарядом q определяется следующим образом:
4/инеприв 6тнеприв = [Е (г\ + а2) - ар9 - r+qQ]/(M2-a2-Q2)71.
(34)
Тогда легко показать [140], что для всех решений с положительным корнем всегда имеем
6т
неприв
>0.
438
Р. Руффини
Равенство имеет место лишь для обратимых превращений (захват частицы, приближающейся к горизонту бесконечно медленно с равным нулю радиальным импульсом). Это неравенство означает, что площадь горизонта для любого классического превращения должна монотонно возрастать. Тот же результат с помощью иного подхода был совершенно независимо получен Хокингом [141].
Как следствие массовой формулы (32) можно получить выражение для угловой скорости черной дыры й (см., например, подпись под рис. 5). Действительно, мы получаем весьма простое выражение
Аналогия между понятиями обратимых и необратимых превращений и обычными термодинамическими превращениями, а также аналогия между площадью горизонта (монотонно растущей) и обычным термодинамическим понятием энтропии были указаны Бекенштейном [142].
Прямым дифференцированием (32), используя выражение (33) для площади поверхности горизонта, уравнение (31) можно преобразовать следующим образом [143]:
где К = (т2 — a2 — Q2)l/j/(r^ + а2) — поверхностная гравитация на горизонте [143], Q — угловая скорость черной дыры, определяемая уравнением (35), а V = Qr+!(r2+ + а2) — электромагнитный потенциал на горизонте [144]. Уравнение (36) формально совпадает с хорошо известным термодинамическим соотношением
.для изменения массы-энергии при термодинамическом превращении. Здесь T — температура, a S — энтропия термодинамической системы, вращающейся с угловой скоростью Q. Разумеется, следует перейти от обычных к геометрическим единицам. Для постоянной Планка h и для температуры T имеем
где, как обычно, k — постоянная Больцмана, и для энтропии
Q = дМ/дЬ = а/(г2+ + а2).
(35)
dM =^dA+ QdL+VfdQ,
(36)
dM = TdS + QdL + VdQ
(37)
теом»
GkTo6hlJci
1=3 Ггеом
(см),
Бекенштейн [142] предположил, что сходство между уравнениями (36) и (37) представляет собой нечто большее, чем простую аналогию, и что величина /С-Лге0м действительно должна быть
8. О гравитационно сколлапсировавиїих объектах
m
отождествлена с точностью до численного множителя порядка единицы с температурой черной дыры. Аналогично Бекенштейн ,[142] предположил, что площадь поверхности Ai деленная на йгеом, должна быть отождествлена опять-таки с точностью до численного множителя порядка единицы с энтропией черной дыры.
Хокинг [145] пошел еще дальше в развитии подхода Бекен-штейна. Он показал, что если принимать во внимание квантовые процессы рождения пар, то действительно черная дыра спонтанно излучает фотоны с температурным спектром черного тела
