Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
7. Поиск гравитационных волн
387
Таблица А2
Группы симметрии антенн и их собственные моды колебаний 1)
Группа симметрии Порядок группы Собственные моды колебаний
Cl * I А
C2 * 2 AB
Cq * 3 AE
Kj 3 Ca * 4 ABE
^ 4 Cl 5 AEj E2
Ce * 6 ABE1S2
Ci (- Si) * 2 AgAu
Cs (= Cih — Si) Сгл (= Cid * 2 А'А"
* 4 ^ g^U^ gB и
CiV * 4 A1A2B1B2
Csh * 6 АТГЕ'Е"
С So * 6 АіЛ2Е
C4h (= Cu) * 8 AgAuBgBuELgEu
с * 8 Ai ^2B1 В2Е
Cbh Cgo * 10 AfAffEflEflfEf2E''
10 A1 у42Е{ E2
Cu * 10 Ag/4#Ej gE\uEigEiU
Csh Cu) * 12 AgAuBgBuEi gE\ IiEigEiti
* 12 Ai АіВ\ Bi E1E2
Г>2 (= V) п * * 4 6 AB1B2B3 A1Zl2E
п * 8 АіЛ2Ві B2E
LfA П. 10 AM2EiE2
иЪ De * 12 Al AiB\$2Ej E2
Dih Csss ^2v = D2і == Vh) * 8 AgAu Bt gB\vfiigBivfizgBzu
Did (= Vd) Dzh (“ D$xj) ¦ * 8 12 At Л2Ві B2E А/ Ан Л/ -//с/е// A2A2 E E
Dzd (“ Du) * 12 AigAxuAigAiuEgEu
Dih Dif) = D41) * 16 А і gA 1 и AigAiи В і gB 1 и В ig Вщ Eg Eu
Pid D$h Iss D^n) 16 А\АіВ\ВіЕ\ЕіЕ$
20 Af Atf Af Aft T^ff Ii^i A2A2 SjEj E2E2
%jfl \ O V/ Dbd (^3 D$i) 20 Ai gAiU AigAiuEi gE\ IiEigEm
VU \ «I»/ Deh (e Dqv = Dqi) * 24 AigA\uAigAiUBigB\UBig BiuEi gE\ UE 2gE2l
Dbd 24 Ai AiBiBiEiEiE^E 4E5
Si * 4 ABE
!) Группы, помеченные звездочкой (*), образуют 32 кристаллические точечные группы. Антенны, принадлежащие группам Cqq, Cqq0, Dqq и Doofl, имеют ось симметрии. Антенны из группы Ri обладают сферической симметрией относительно центра. ГВ-актив-ные моды даны жирным шрифтом. Вырождение мод: At Bt 2, s—невырожденные; Et П Д, Ф, Г— двукратные; Ft р —трехкратные; G-четырехкратные; Ht й—пятикратные; f—семикратные (таблица из работы 184]).
13*
388
Э. Амйльди, Г. Пиццелла
П родолжение
Группа симметрии Порядок группы Собственные моды колебаний
«Se (=* Czi) * 6 AgAuEgEu
Ss 8 ABEi E2E3
T * 12 AEF
Th (= Tl) * 24 AgAuEgEJr gF и
Td * 24 AlA2EFiF2
о * 24 AiA2EFl F2
Oh (= Oi) * 48 Ai gAiu A2g A2uEgEuF 1 gF iUF 2gF 2и
I 60 AFiF2G H
Ih 120 AgAuF\gF iuF 2gF 2 uGgGuHgH и
Coa OO 2ПД0Г ...
Coo0 OO 2+2“ПДФГ ...
D00 CO 2+2”ПДФГ ...
Daah (= D00V = Dooi) OO
R1 OO sPgPudgdufgfu
носительно соответствующих операций в группах, изоморфных Dn *). Индексы 1 или 2 у А или В используются для обозначения собственых мод, которые симметричны или антисимметричны при одном из двукратных поворотов вокруг оси, перпендикулярной главной оси симметрии в Dn, или ее аналогу, такому, как вертикальная плоскость av в группе, подобной Cnv9 которая изоморфна Dn.
Если такая группа, как Dnhf получается путем взятия пря-мого произведения2), то все собственные моды двукратно вырождены. Собственные моды, являющиеся симметричными относительно /, обозначаются индексом g (gerade — четный), в то время как антисимметричные моды обозначаются индексом и (ungerade — нечетный). Если прямое произведение содержит горизонтальную плоскость Oh в качестве генерирующего элемента, то собственные моды, симметричные относительно Ohi обозначаются штрихом, и антисимметричные моды — двумя штрихами.
Читатель, которого интересуют обозначения для вырожденных состояний, может найти соответствующую информацию в приложении X к работе [171].
1J Две группы называются изоморфными, если между элементами одной и другой групп можно установить взаимно однозначное соответствие, и законы умножения в обеих группах одинаковы.
*) Если А есть р-рядная квадратная матрица и В есть ^-рядная квадратная матрица, то А X В является квадратной матрицей с pq строками и столбцами, а ее элементы образуются из всевозможных произведений пар элеменгоь: (А X в]»*, ц = AiiBkit
7. Поиск гравитационных волн
389
Обозначения, используемые для собственных мод групп с цилиндрической симметрией (C00, Cocv, D00, Daov), совпадают с применяемыми в спектроскопии двухатомных молекул (2+, S-, П, ...), тогда как в случае сферической симметрии (Ri) используемые символы совпадают с применяемыми в спектроскопии одноатомных молекул (s, pg, ри, dg, da, ...) •
Приложение Б. Вывод выражения (7. 106)
Вычислим интеграл ч*°°
/ = ^Г S + 5, («)+(O0)+ S1 ((D-(D0)J d®. (Б.1)
-OO О
Первый член в интеграле равен
7 * T «Ji T_ А
2я 1 + со2<2 я I t2 ^ + ^ <0
(Б.2)
Во втором члене [полагая для простоты tg6 = Ob уравнении (6.3)]
I2 = - +\ еШ8' =
2л J 1 + © /п
-OO и
___С ________________е‘а‘rfco____________ (Б 3)
- 2я J (1 + сAg) [(ш2 - со2*)2 + CO2T0-2] ’ {Ь'6)
S0 = 2kTeRJ L2lCl (Б.4)
имеем полюсы
CO1=-I., (D2 = --^. ®з = 2^, (Б.5)
OJ4 = - 2ю0 + , ®5 = - 2^-. M6 = - 2®о - ,
где мы полагаем со/? « оо. Интеграл берется в комплексной плоскости вдоль линии, которая включает вычеты в соь O3 и CO4 для t > 0.
Вычисления упрощаются в предположении
to < 2т0 (Б.6)
-Jr <? 4со!. (Б.7)
390
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Последнее условие означает, что время интегрирования фазовых датчиков должно быть значительно большим, чем период 2л:/о)о звуковых волн в антенне. Мы получаем
у С Ґ л”*/2То
tl\ ° t0) ----3----(.2со0 + <т0 )
(Б.8)
Sir0 1WjJ (2cd0 - /T0 ‘)
Заметим теперь, что выражение
