Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Более того, для любого детектора следует делать различие между минимальной наблюдаемой интенсивностью приходящей гравитационной волны (разд. 8.1) и приведенной чувствитель* ностью (разд. 8.2). Определение первой из этих двух величин включает кроме интенсивности (в единицах эрг/ (см2 Гц) или GPU) приходящего импульса также статистическую частоту их появления по отношению к появлению флуктуаций полного фонового шума. Вторая величина, которую мы называем приведенной чувствительностью, включает только отношение сигнал/шум независимо от частоты появления импульсов гравитационных волн.
8.1. Минимальная детектируемая интенсивность гравитационных волн
Начнем с распределения (7.27) стохастической переменной р2 (7.25), получаемого за полное время измерения Tm при времени выделения сигнала At, оставляя пока в стороне проблему оптимизации At. Величина, определяющая, во сколько раз сигнал, обусловленный тепловым и электрическим шумами, больше, чем заданное значение р2, дается выражением [7, 133]
8. Чувствительность антенны
где
ла>Р2) = м*-р2/2а\
N0 = TJAt
(8.1)
(8.2)
7. Поиск гравитационных волн
361
есть полное число наблюдений, зарегистрированных в течение Tm.
Предположим, что в течение времени Tm в детектор попадают Ng (^5P2) импульсов гравитационных волн амплитуды
^ P2f Для того чтобы можно было наблюдать эти сигналы, не-
обходимо, чтобы Ng (^p2) было равно флуктуациям величины N(^р2), определяемой выражением (8.1), или было больше их. Таким образом, мы должны иметь
Na(>P2)>W(>P2)]'h. (8.3)
где 0 — число, которое будет выбрано в соответствии с требуемой доверительной оценкой. Например, для доверительного предела, равного 99%, 0 = 3. Из (8.3) и (8.1) получаем
P2 ^ 2сг2 (At) -ф, (8.4)
где
^ = In в2^ ft- = 2 In 9+ In JV0 - 2 In N0 (> р2) (8.5)
V ^ P )
есть статистический множитель, зависимость которого от времени измерения Tm и времени выделения сигнала At непосредственно определяется путем выражения No и Ng через соответствующие частоты появления
H0 = N0ITm=UAt, па = N0ITm. (8.6)
Мы получаем
ф = 2.1п 0 — 2 In — In Tm + In At = 2 In 0 — 2 In па — In N0, (8.7) что для 0 = 3 (доверительный предел 99%) дает
ф99% = 2,1972 - 2 In па (> р2) - In N0. (8.8)
Ясно, что минимальное наблюдаемое значение р2 получается
при использовании минимального значения O2(At) и соответствующего Atonr [см. уравнения (7.37) и (7.36)]:
Рмин. набл = 2(т2 (^опт) ’Фопт» (8-9а)
где
¦фопт = 2,1972 — 2 In па — In Tn + In Д/опт. (8.96)
Теперь удобно выразить р2 через характеристики гравитационной волны. Рассмотрим резонансный всплеск, вызывающий сигнал, определяемый уравнением (4.25), которое с учетом (4.19) удобно переписать в форме
I (/) = -??- sin ((O0/ + я>. (8.10)
TV
362
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Если этот гравитационный всплеск с длительностью
Xg < At < T0 (8.11)
достигает детектора в начале времени выделения сигнала, то он дает только один сигнал, квадрат амплитуды которого равен [см. (4.87)]
й-О -т)’4!г(V4)'. (8-12)
где численный множитель 0,4 появляется вследствие того, что At = to есть постоянная времени фазового детектора.
Если Xg сравнимо с Att мы можем получить более чем один сигнал в последовательные интервалы времени выделения сигнала, каждый из которых меньше р^. Мы ожидаем, однако, что в большинстве случаев условие (8.11) должно выполняться по крайней мере до тех пор, пока At порядка 0,1 с или больше. Поэтому, комбинируя (8.12) и (8.4), получаем
{hrgf>-YTl (M) (8.13)
* 0,4а vs
что с учетом (4.39) дает
F (V) = IgXg > -gg- -±j 5<r2 (M) ф. (8.14)
Эти формулы дают минимальные значения hoxg или F(v)t детектируемые с достоверностью 99% соответствующим прибором, характеризуемым определенными значениями O2(At) и At, для установленных значений частоты появления этих событий и полного времени измерения.
Используя G2(At) и At, определяемые из (7.37) и (7.36), и полагая па = 1 день-1, Tm == 1 день = 86 400 с и 0 = 3, удобно переписать (8.14) в виде
F(V)> [F(V)Lhh-5,35- IO36(6,782 - jln А/опт) (8.15)
в единицах системы СИ. Используя (6.21) и (6.8) при соR да ©о, получаем
F (V)»IF MU = 7,57.10“.$г [щіі;)'" X
X (б,782 - I In Л*опт) Дж/м2 • Гц. (8.16)
Наконец, сделаем несколько полезных изменений в единицах. Комбинируя (8.12) с (4.39), получаем
p4^w}.{2'/sJ <*-">
7. Поиск гравитационных волн
363
что допускает преобразование величины р2, выраженной в B21 в величину IgTg = F(v), выраженную в Дж/м2 Гц или в GPU [см. уравнение (3.15)], и наоборот. Преобразование г2(р2), выраженного в В2, в температуру Ге(Гэфф) в кельвинах получается путем приравнивания среднего значения одной из стохастических переменных г2 (или р2), функция распределения которой
имеет вид (7.31) (или (7.27)), чисто броуновскому шуму (6.8)
при температуре Те{Т3фф):
(r^ = 2o2~2V2nb = ^^, (8.18)
где мы ввели усиление А и аппроксимируем го/? значением ©о-Мы получаем
г. = {тая-W <8-19>
Это соотношение имеет общую применимость в том смысле, что оно дает коэффициент преобразования для перехода от переменной (г2, р2 и т. д.) в B2 к соответствующей температуре: Te -> -*-(г2), 7’Эфф->-<р2> и т. д.
