Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку S^(O)) симметрична относительно ю, то SJj, (а>) = 0; это доказывает, что две стохастические переменные x(t) и y(t) не коррелируют.
Переменная y(t) имеет статистические свойства, аналогичные свойствам х (t). Ее автокорреляционная функция равна
Ryy(At) = RxxW), (7.20)
а ожидаемое значение
V\be~^mx + Vje-^ta 'lb + V21
12 Зак. 203
уP (ДО = ——v> ,J----------------------------------y(t-~ ДО- (7.21)
v nb “Г Vl
354
В. Амальди, Г. Гїиццелла
Стандартное отклонение также дается выражением (7.16): вуу(Ы) = вхх(А(). (7.22)
Наконец, распределение переменной
Y(t) = y(t)-yp(t) (7.23)
является нормальным:
F [Y (/), А/] = [2шт2 (ДОГ* ехр [- Y2 (t)/2a2 (А/)]. (7.24)
Тогда анализ данных состоит в основном в экспериментальном определении распределений X(t) и Y(t) и проверке того, что они согласуются с (7.15) и (7.24). Чтобы провести эту проверку простым путем, удобно ввести переменную
P2 (t) = X2 (0 + т (7.25)
Чтобы получить ее распределение, вычислим сначала вероятность получения X(t) и У (t) при данном t:
fI-''1''']=ъ&техр I- -1?]dx dy• <7-2б>
Распределение р2 следует из р dp dy = dX dY после интегрирования по аномалии ф в плоскости (X9 У):
F (р2, At) = 2(Т2 ехр [— 2о*%<) ] • (7-27)
Это распределение легко проверяется на полулогарифмической бумаге. Отметим, что среднее значение
р(/) = 2ог2(Д/), (7.28)
что дает простой способ измерения параметра а2(At).
Теперь важно исследовать поведение O2(Af) в функции временного интервала At между событием, выбираемым в качестве
начального, и моментом времени, для которого предсказы-
вается ра.
Из (7.16) получаем
Jim .ЛДО-П.+ 'І=^! - +
(7.26''
Предел при At -> оо означает, что мы не делаем никакого предсказания (хр = ур = 0). Это эквивалентно рассмотрению вместо р2 переменной
r2(t) = x2(t) + y2(t), (7.30)
которая имеет распределение вида
F(r2,t)=-^e'rW°. (7.31)
7. Поиск гравитационных волн
355
В этом случае могут наблюдаться лишь гравитационные волны, которые порождают сигнал, сравнимый с а0. Однако, как мы уже отмечали, существование волн такой амплитуды крайне маловероятно.
Чувствительность можно улучшить, рассматривая в (7.16) значения At 2то. При At-*-0 имеем а2 ->0, но At не может быть меньше to, поскольку to есть время интегрирования фазового детектора.
Действительно, в (7.16) удобно положить
t0 = At, (7.32)
чтобы определить оптимальное At, т. е. такое его значение, которое делает O2(At) наименьшим. Из (7.16) и (7.32) получаем
{ (V2 р~А*/2т° I уг2 -142 V
<до ¦- (К,+Ч) {I - (^+и;у } - (7 33)
Если выполняются условия
V2nbB-*!3* > 1 Vl At < T0, (7.34)
то выражение (7.33) можно заменить приближенным выражением
)-44:+2O-})?-.
(7.35)
минимальное значение которого, как легко видеть, имеет место при
А/ = А/опт ж "Ir" [2т0 (е — I)] =¦* 1,854 Tr-- Xof29 (7.36)
у пЬ v пЬ
о2 (At007) = vnbv02 ГИЬГ-ЖГ’ „ 1,365 -?!. (7.37)
L ехо J то
Сравнение (7.37) с (7.29) показывает, что
^(Afопт) l,?65F„6K0/t^ _ WV0 I
°Г~~ Vl+ Vlfr0 ~ Fn6 т^<1- (7’38)
откуда следует своего рода критерий улучшения чувствительности, получаемого при анализе сигнала посредством надлежащего выбора алгоритма.
В заключение в табл. 7.1 мы резюмируем вклады различных шумов в фон резонансной болванки, снабженной пьезоэлектрической керамикой, выход которой подключен к полевому предусилителю.
12*
356
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Таблица 7J
Сводка выражений для шумов системы болванка — пьезоэлектрический датчик — полевой предусилитель
Узкополосные шумы (В2)
а. Броуновское движение болванки, V2b (6.7) или (6.8)
б. Джонсоновский шум керамики (датчика), V2 (6.16)
в. Резонансный шум, обусловленный шумом тока In
в полевом предусилителе, Vnni (0
Vlb=1V2B+Vl +V2nn. (6.20),(6.19)
Путем в ведения эквивалентной температуры Te [выражение (6.22) получаем
Vlb-VlTeQmITQ. (6.21)
Широкополосная спектральная функция напряжения (Б2/Гц)
г. Спектральная функция напряжения полевого предусилителя, V2n
д. Спектральная функция напряжения пьезокерамики, (2tg б/©С2) kT
е. Спектральная функция напряжения, обусловленная шумом входного тока полевого предусилителя (In), /#/со2С\
9 о 2 tg б 1%
у‘-у"+-^Т1‘т+-Щ- <в*>
Полный естественный шум aO = V2nb + V2i (7.29)
Rlx (At) ,
1------Sbr- I (7.14), (7.29)
Полный отфильтрованный шум !)
Полный отфильтрованный минимизированный шум2)
C2 (А/опт) = 1,365 , (7.37)
Т02
А/опт= I.854 1$. (7.36)
*) fo-^время интегрирования фазового детектора, ширина полосы которого Av равна Av—1/fo. Af-время выделения сигнала: At=*t0.
*) Te—время затухания антенны: -»,»Af.
Для других типов детекторов (болванка + датчик + предусилитель) различные вклады определяются выражениями, отличными от приведенных в таблице, так что их относительное значение также будет другим.
Содержание таблицы, однако, охватывает все возможные вклады и, таким образом, указывает на эффекты, которые должны приниматься во внимание во всех случаях.
