Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Более сложные методы используют теорию Винера [126]. Представляется, однако, что простейший подход будет адекватным при оптимальных условиях записи данных (см. ниже)1). Он состоит в предсказании значения Vp(t) на основании только измеренного значения V(t) в момент времени (t — At).
]) Согласно детальному сравнению, проведенному Пэллоттино и Пиццел-лой [125], фильтр Винера — Колмогорова имеет отношение сигнал/шум только незначительно лучшее, чем (7.25) для А/, близкого к А/0пт, но оно существенно улучшается для более малых At. (Относительно новых результатов см., например, [191, 192] и статью Паллоттино в сборнике [180] (с. 341).—
Прим. перев.)
Rvv (0 — Rnn (0 Н~ Rww (0*
(6.26)
7. Анализ сигнала
1,6- IO"20 с,
7. Поиск гравитационных волн
351
Чтобы «угадать» V(t), минимизируем величину [126]
a2 = E {[F(/) -Vp(t)f} (7.2)
(Е{х}—ожидаемое значение переменной х), т. е. мы ищем такое ожидаемое значение Vp (t) в момент t, которое минимизи-
рует отклонения от измеренного F(0- В простейшем подходе мы полагаем
Vp(t) = a(At)V(t — At), (7.3)
где Дt — параметр, оптимальное значение которого следует определить. Беря частную производную от а2 по а, приравнивая ее нулю и замечая, что в общем случае E{x(t-{- At)-y(t)} = = Rxy(At), получаем
и (At) = Ryy (At)/Ryy (0). (7.4)
Используя для Rw(^t) выражение (6.26), находим предсказываемое значение VP(t) в момент t.
Однако при использовании этого подхода возникают практические трудности, обусловленные необходимостью проводить измерения в моменты времени, которые должны быть известны с очень большой точностью. Например, положим ©о = IO4 рад/с. Вследствие наличия множителя cos coot в выражении для Rvv (0 мы должны определять t с точностью, лучшей чем, скажем,
1 мкс, что налагает жесткие ограничения на систему автоматической регистрации данных и значительно увеличивает широкополосный шум. Для решения этой задачи устраняют синусоидальный множитель путем подачи сигнала V(t) на фазовый де-, тектор, который дает переменную
t
x(t) = A (?) ехр [— (t — t')/t0] sign {cos юRt'} dt', (7.5)
где A — коэффициент усиления, a t0 — заданная постоянная времени. При фактическом вычислении выражения (7.5) операции выполняются в следующем порядке.
Сначала сигнал V(t') умножают на sign{cos и интегрируют /?С-фильтром с постоянной времени /0.
Чтобы установить свойства этой новой стохастической переменной, мы должны рассчитать ее автокорреляционную функцию. Сделаем это в два шага. Первый шаг состоит в получении спектральной функции для F(rf)sign{cos©0/}. Поскольку
Sign {COS = ~ [cOS -f- COS 3<йд/ -f- ...], (7.6)
352
Э. Амальди, Г. Пиццелла
то спектральная функция Sb(co) для V(/)cos(dr/ выражается через спектральную функцию S,i(co) для F(rf) в виде ряда
Sb И = $ т { 5л (со + со *) + Sj4 (со - ®л) +
+ тРл(® + 3®л) + 5,,(®-Зшл)] + (7.7)
где
Syl (CO) = S1H+1/2, (7.8)
причем Si (со) дается выражением (6.2), a Fo- выражением
(6.24), в котором T заменено на Te.
Второй шаг состоит в получении спектральной функции
Sc (со) на выходе /?С-фильтра с постоянной времени to:
ScH = SbH7-і-p-. (7.9)
1 “Г CO t0
Комбинируя все эти уравнения, получаем автокорреляционную функцию для переменной x(t):
+ OO
W = -SJ- S Sc(a)e** dc0. (7.10а)
Интегрирование проводим в пренебрежении членами второго порядка относительно (to/to) и (<оЮо)-1 и считая Fo независящим от частоты. Получаем выражение (приложение Б)
(о - П,*-"*'+(тг —кг'.) (7.106)
которое не содержит осциллирующего множителя COS (dot.
Теперь мы можем применить к переменной x(t) алгоритм предсказания, полученный для F(Z)- Из (7.3), (7.4) и (7.106) получаем
у2 ?-Д*/2то і
(д0 = -"" V -Ivi-----------*^ (7.11)
V nb T V І
где
Ясно, что величина
-v^-ST- (7-12)
X(t) = x(t)-xp(t), (7.13)
впервые примененная к гравитационным волнам Левином и Гарвином [101], имеет нулевое среднее значение и в силу (7.2)
7. Поиск гравитационных волн
№
среднеквадратичное отклонение, равное
0*(A/)-*„(O)[l --§^-1. (7.14)
L Kxx (U) J
Можно показать, что X(t) обладает нормальным распределением [126]
F [X (t), At] - [2па2 exp[- -??*]. (7.15)
Подставляя (7.106) в (7.14), получаем
( \V2,е~4- 1^е-Л</Ч2 •)
«г2(At) = JV26 + V]] |l — ^ J ‘ (7Л6)
Однако один фазовый детектор использует лишь часть информации, содержащейся в сигнале V{t). Чтобы получить полную информацию, можно использовать второй фазовый детектор со сдвигом на 90° относительно первого, что дает стохастическую переменную t
у (t)= ^ V (/') exp [— (t — t')/t0] sign {sin <0Rt'} dt'. (7.17)
-OO
Чтобы проверить, что y(t) дает информацию, отличную от той, которая содержится в x(t), рассчитаем корреляционную функцию Rxy(%) для V(^)Cos OiRt и K(Osin (Or<. Получаем
+ OO
Rxy (т) = Iim -sL- \ V (t') V (т +1') cos <акҐ sin ю»*' dt' ¦»
Г->оо J
-OO
= Hyy (т) sin (7.18)
В таком случае перекрестная спектральная функция равна
Sxy H = [5л (со + вид — 5д(со — щ)]/2і. (7.19)
