Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
— во
которое можно аппроксимировать выражением
Л=iJr-Ir- <«-7)
•2 2
где МЫ пренебрегли членами Qm и tg б.
Используя (6.4), (5.29) и (5.33), при условии mpz<.m получаем
у2= JLt (6.8)
Mnjt Q1
m
2
где а дается выражением (4.86); Vb называется полным броуновским шумом болванки, поскольку реальным физическим механизмом, который вызывает его, является броуновское движение свободных электронов и фононов в антенне, ответственное за потери, характеризуемые сопротивлением Ri.
Теперь важно оценить автокорреляционную функцию #ц(т) для сигнала, спектральная функция которого равна Si((o). Автокорреляционная функция определяется как обратный фурье-образ Si (со). Таким образом,
+ OO
*«. M = -ST S S1 (ю) еш Cfffl =
-OO
= vle~xl2x' [cos о»,т + sin ю.т], (6.9)
где
= (6.10)
Пренебрегая членами порядка Q-1, получаем
(т) = Уае tflteCOS(о^т, (6.11)
2
Очевидно, ^ll(O)=V7A,
348
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Рассмотрим теперь шум, обусловленный пьезоэлектрической керамикой. Чтобы сделать это простым способом, удобно, используя теорему Нортона, представить шум напряжения посредством генератора тока
I2 = V2IR2, (6.12)
соединенного параллельно с сопротивлением R2. Этот генератор работает на импеданс, определяемый выражением (5.41), поэтому он дает следующий вклад в функцию шума напряжения:
I Z (о) р P2 = I Z (со) I2 2kT/R2. (6.13)
Очевидно, что этот спектр имеет резонанс при с шири-
ной полосы, определяемой (6.5), совершенно аналогично шуму, обусловленному Ri, поэтому вблизи резонанса он не может быть отделен от броуновского шума болванки.Можно показать [123], что
+г“ do QC2, T Il d<o
[ |Z(<d)|2l\ — Z=-^-L/2+ \ ----, (6.14)
Jo 2 2я 2©RC\ 2 Joo (O2C22 2я ’
где Q — полная добротность, определяемая уравнением (5.21).
Этот результат может быть интерпретирован следующим образом. Второй член есть широкополосный вклад, спектральная функция напряжения которого равна
2kT tg 6
'• <6-15>
Первый член есть узкополосный вклад
V22 S?i^±kT (влб)
2 2(0 Rc\ 2 Cl
который обладает автокорреляцией типа (6.11).
Аналогичные результаты получаются для шума тока, обусловленного полевым усилителем. Имеет место широкополосный вклад, вызванный наличием генератора шума In, спектральная функция напряжения которого равна
SN(<») = Ilh2C22, (6.17)
и узкополосный вклад
V2nn = QC2Pn^rC*. (6.18)
Два вклада в узкополосный шум (6.16) и (6.18) могут быть объединены:
Пі-4 + П». <6-19)
7. Поиск гравитационных волн
349
причем Vrn мы будем называть резонансным шумом, поскольку оба члена соответствуют резонансному возбуждению болванки шумами токов I2 и In, и оба имеют одинаковое спектральное поведение, подобное броуновскому шуму болванки. Полный узкополосный шум
П.=П + П,=^^{і + (Ч^+^}~
может быть интерпретирован как чистый броуновский шум при эквивалентной температуре Te, большей, чем физическая температура Т, т. е. мы можем написать
Пь = VlTeQJTQ = WkTe/m<*% (6.21)
где
(б'22)
что явно показывает возрастание температуры ATe = Te—T вследствие резонансного шума.
Из (6.11) и (6.21) мы сразу же получаем автокорреляционную функцию Rnn (t) для полного узкополосного шума
Rnn (0 cos =
M 0)^
2 a2kT
Л1(0^ V
Перейдем теперь к широкополосным вкладам в спектраль-ную функцию напряжения. В дополнение к вкладам 5г(ю) и Sn(G)), даваемым выражениями (6.15) и (6.17), мы должны рассмотреть вклад, обусловленный шумом напряжения Vn полевого
усилителя. Таким образом, полная широкополосная спектральная функция имеет вид
2kT tg 6 Il vI=vN+ иС2 +-^Т’ (6-24)
где мы пренебрегли малым членом, описывающим корреляцию между Vn И In-
Автокорреляционная функция для этого спектра имеет вид R„(0 = пт (6.25)
350
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Поскольку эти различные процессы независимы, автокорреляционные функции складываются, давая полную автокорреляцию выходного напряжения К(0:
В разд. 6 мы показали, что выходное напряжение датчика имеет среднеквадратичный шум, определяемый Rw(O) и поэтому больший, чем Vb (чисто броуновский шум болванки). Если сигнал далее не обрабатывается и мы принимаем отношение сигнала к шуму равным единице, путем использования уравнений (4.25) и (4.19) для сигнала и уравнения (6.8) для шума, в качестве нижнего предела для наблюдаемой амплитуды гравитационных волн получаем выражение
При T = 1 К, M = 400 кг, Vs = S- IO3 м/с и L = 1,5 м находим
что (для Xg ~ 10“3 с) дает слишком большое значение для h. Однако, как показали Гибсон и Хокинг в своей первой работе
[73], чувствительность антенны можно существенно улучшить путем соответствующего анализа данных.
В дальнейшем мы используем более современные методы, основанные на применении автокорреляционных функций. Проблема может быть рассмотрена на различных уровнях сложности. Эти методы основаны на сравнении измеренного значения V(t) напряжения в момент времени t со значением Vp(t), предсказываемым с большей или меньшей степенью точности на основании измерений, произведенных в другие моменты времени.
