Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Полное время, необходимое керамике для диссипации ее соб-
ственной энергии и энергии болванки Sb, равно
^ дт 1ь+Ebl (Ъ )
трг V gpz • I0-yJ
Максимальная потенциальная энергия болванки
(5.10)
340
Э. Амальди, Г. Пиццелла
где Io — амплитуда колебаний ее концов, а — резонансная угловая частота болванки. Потенциальная энергия керамики должна рассчитываться с учетом также механического напряжения, обусловленного электрическим полем Ei т. е. путем использования пьезоэлектрического уравнения (4.82), из которого получаем
•”‘{1,+7г)и-г»и- <5">
Тогда, пренебрегая размерами керамики по сравнению с размерами болванки и предполагая, что натяжение в керамике равно натяжению в болванке, мы получаем в хорошем приближении
- HmdV TT<5-12>
Vpz
что дает где
Уп, Vp 'ь
Х = 2(5.14)
Y — модуль Юнга для болванки, a Vb — ее объем.
Окончательно (5.9) принимает вид
C=V1Tt- (5-15)
Отметим, что обычно Х< 1.
Te же рассуждения применимы к расчету энергии, поглощаемой болванкой, которая имеет время релаксации
^ь = хь X ^Рг =Т»П + Х). (5.16)
ь
Полная диссипативная сила на единицу массы пропорциональна величине
а полная добротность Q для % <С 1 определяется выражением
(5Л8)
где Qt — добротность болванки, Qpz — добротность керамики, учитывающая потери энергии вследствие механической и электрической диссипации.
7. Поиск гравитационных волн
341
Уравнения (5.17) и (5.18) могут быть обобщены путем разделения механических и электрических потерь в керамике.
Вспоминая уравнение (5.11), определяющее Ypz, мы видим, что параметр % может быть представлен как сумма двух членов
*' = 2ITW' (5-,9)
K = 2WTT- (5-20)
Тогда (5.18) принимает вид уравнения
уже приводившегося в разд. 4.1.5.1 [уравнение (4.89)]. Напомним, что Qpz — механическая добротность керамики, (tgb)-1 — добротность керамики для электрических потерь, a Qm — механическая добротность системы болванка — керамика. Как будет показано, P является отношением электрической энергии, запасенной в датчике, к полной энергии антенны [уравнение (5.28)].
Переходим теперь к упругим силам, которые возникают в болванке и керамике. Мы можем непосредственно вычислить их сумму, обращая внимание на то, что для осциллятора с полной потенциальной энергией S упругая сила на единицу смещения равна
К0 = 2&/Ц. (5-22)
Используя (5.13) и (5.10), находим
Яо-тг^ + х). (5-23)
Результат этого рассмотрения состоит в том, что движение болванки с пьезоэлектрической керамикой эквивалентно движению осциллятора, который подчиняется уравнению
+ <5-24>
где То, /Co, тп и трг даются соответственно выражениями (5.17),
(5.23), (5.5) и (5.8). Из уравнения (5.24), используя соотноше-
ние (4.86), получаем уравнение для потенциала V(t):
<5-24а>
Хорошо известно, что это уравнение справедливо также для напряжения V(t) в электрической схеме, изображенной на
342
9. Амальди, Г. Пиццелла
рис. 5.1, параметры которой связаны с параметрами антенны следующими уравнениями:
1/т0 = Ши (5.25)
/Co
тп + m
= L1C
в/ внеш
2 m + mpZ
(5.26)
(5.27)
есть напряжение генератора, последовательно соединенного
______0 с RU Однако эти три уравне-
Cz
Рис. 5.1. Эквивалентная электрическая схема системы из болванки и пьезоэлектрического датчика без электрических потерь.
ния не определяют однозначно четыре неизвестные Ru Lu С\ и V8. Необходимо четвертое уравнение, которое может быть получено из энергетических соображений.
Вычислим отношение P электрической энергии, запасенной в датчике, к полной энергии антенны. Анализируя рис. 5.1, получаем
Cl
C1 H-C2-
(5.28)
Рассматривая реальную электромеханическую систему, имеем
V2C2V2 ZC2V2
Br______ _______ 0
Sb (1+х) Mto2bU+%)
Приравнивая оба этих уравнения, получаем
C1-
X2-
202Cl
Mab (I + Xi)
(5.29)
(5.30)
Таким образом, C1 может быть непосредственно рассчитано по известным параметрам антенны. Тогда, используя уравнение
(5.26), получаем
т + трг (5.31)
L,=
O2C22
и находим, что C2 как раз является емкостью керамики. Окончательно из уравнения (5.25) получаем
Ri = Ufr0.
(5.32)
7. Поиск гравитационных волн
343
Удобно определить
“о== roKl+Xi) ’ <5-33>
что дает
^1C1-I/o*. (5.34)
Мы видим, что параметры эквивалентной схемы могут быть рассчитаны с помощью характеристик болванки и датчика. Однако важно также измерить их. Чтобы определить экспериментально /?1, Li и Cl, необходимо выполнить три измерения. Один из возможных методов состоит в следующем.
5.7. Определение R'\
Генератор напряжения V(<d) подключается к вводам датчика (рис. 5.1). Этот генератор работает на импеданс
^1 + ZcdL1 + (!/ZwC1)
шС2 Rі Ч" /(DL1 + (!//(DC1) + (!//(DC2)
(5.35)
Вещественная часть соответствующей полной проводимости имеет максимум при со = ©о, и мы получаем
*м-7+=Ьг
Тем самым измерена вещественная часть тока, протекающего через генератор. Мы получаем
Ri = V (®o)/Re [/ (©о)]. (5.37)
