Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
откуда следует, что измерение натяжения в срединной плоскости болванки эквивалентно измерению смещения одного из ее концов.
Все датчики, используемые в настоящее время или предложенные для детекторов гравитационных волн, по-видимому, подходят под определение линейных устройств (табл. 4.3), возможно, за исключением определенных типов «кван-тово-неразрушающих» детекторов, кратко описанных в разд. 9.3. Поэтому их свойства прекрасно описываются линейными уравнениями, которые связывают механические входные переменные pt (t) и z(t) с электрическими выходными переменными — напряжением Уг(0 и током /2(0* Эти уравнения обсуждались Джиффардом [74, 75], который представил одиночную моду резонансной болванки, управляющей датчи-Рис. 4.14. Механический эквивалент от- ком, с помощью показанной
дельной моды резонансного детектора, на рис. 4.14 механической
соединенного с датчиком. модели. Нормировка такова,
что смещение z(t) в модели отождествляется с изменением l(t) длины, вызванным соответствующей модой колебаний. Масса Mm модели выбрана так, чтобы ее кинетическая энергия была равна полной кинетической энергии моды, т. е.
=4 Jpi2(r)dF. (4.75)
Податливость Km и затухание ц.т определяются требованием, что резонансная частота (Кт/Мт)ч* и время затухания то = = 2Мщ/Цт в модели и в реальной антенне совпадают.
Используя в качестве входных переменных «скорость» z (/) и силу pt(t), прилагаемую со стороны модели к датчику, Джиф-фард [74, 75] по аналогии с электрическим четырехполюсником
7. Поиск гравитационных волн
303
в предположении, что датчик не содержит источников шумов, записал уравнение импеданса в виде
0-(5:20-
Коэффициенты Zn матрицы импеданса являются дифференциальными операторами, связывающими механические и электрические переменные. Величины Zn и Z22 представляют собой ме-
Электрическая Электрический
Рис. 4.15. Электрическая эквивалентная схема отддельной моды резонансного детектора, соединенного через датчик с шумящим усилителем [74, 75].
ханический входной импеданс и электрический выходной импеданс соответственно. Смешанный импеданс Z21 определяет прямую передачу от входного сигнала к выходному, а величина Zi2 определяет обратную связь выхода со входом. Для любого пассивного устройства теорема взаимности утверждает [105]
Zb = Z81. (4.77)
Наличие этой фундаментальной взаимности подразумевает, что энергия шума, связанного с усилителем, проходя датчик, преобразуется в силу шума и прилагается к антенне.
Отклик модели, изображенной на рис. 4.14, на управляющую силу px(t) может быть записан в виде
KmZ (0 + Mmz (I) + цті (/) + Pt (t) + Рп (/) + Рх (t) = О, (4.78)
где pt{t) может быть выражено с помощью первого уравнения (4.76), а сила pn(t) является шумом Найквиста, связанным с диссипативным элементом ц.т. Он имеет спектральную интенсивность kTm, где Tm — температура источника диссипации.
Уравнения (4.76) и (4.78) могут быть легко проанализированы с помощью эквивалентной электрической цепи (рис. 4.15), в которой сила отождествляется с напряжением, а скорость — с током. Анализ этой эквивалентной цепи проводится аналогично
304
Э. Амальди, Г. Пиццелла
выполненному в разд. 5. Следуя этой процедуре, Джиффард получил квантовомеханический предел для линейного усилителя, который кратко обсуждается в разд. 9.3.
а. Пьезоэлектрические датчики. Все кристаллы в сегнетоэлек-трическом состоянии являются пьезоэлектриками: напряжение сг, приложенное к кристаллу, изменяет его электрическую поляризацию. Ho кристалл может быть пьезоэлектриком и не будучи сегнетоэлектриком. Кварц является пьезоэлектриком, HO не сег-нетоэлектриком; титанат бария является и тем и другим.
Пьезоэлектрическая среда описывается двумя системами линейных уравнений, которые содержат несколько постоянных. Они могут быть измерены статически при постоянной температуре. В этом случае упругие постоянные являются изотермическими. Однако для быстро колеблющейся среды эффективные упругие постоянные являются адиабатическими, поскольку не существует обмена теплом между смежными элементарными объемами. Для адиабатических условий пьезоэлектрические уравнения могут быть записаны в виде [106]
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам и
есть тензоры напряжений и натяжений, гитп — тензор диэлектрической проницаемости при постоянном натяжении (m, n= 1,
2, 3), сЕц, = (даJdut)E = l/sf7 — модуль Юнга при постоянном Е, sfj — упругие постоянные при постоянном Е,
a dmi — пьезоэлектрические постоянные. Последнее соотношение является одним из соотношений между пьезоэлектрическими и упругими постоянными, вывод которых можно найти в приложении к работе [106].
Уравнения (4.79) в дальнейшем будут применяться только для очень простого случая величин, зависящих от одной пространственной координаты Zy так что векторы EhD, как и тензоры <Т/, и етп, сводятся к одной компоненте.
4.1.5.1. Пассивные датчики
'mn пг1
(4.79)
(4.80)
7. Поиск гравитационных волн
305
Таким образом, уравнения (4.79) принимают вид
