Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Заданное поле внутренних смещений разлагается в ряд по собственным модам:
и(х, у, z, /)= Ys bn (i) Vfn (х, у, г).
П
*) Взаимность по Гельмгольцу в контексте электромеханических преобразователей обсуждалась Мззоном [105].
7. Поиск гравитационных волн
285
Приведенная масса антенны в п-й моде, отнесенная к обобщенной координате хп, определяется кинетической энергией антенны
Координатой хп может быть любая величина, которая характеризует состояние колебания антенны. Если компонента (и, А) вектора смещения и вдоль заданного направления А в точке P (х, у, z) выбрана в качестве координаты х„, то для приведенной массы в га-й моде колебания получаем
Исходя из уравнения (1.2) и приведенных выше соображений токийская группа показала, что энергия, излучаемая в форме гравитационных волн в телесном угле dQ п-й колебательной модой механической системы, дается выражением
где Aan — эффективная площадь болванки относительно га-й
причем уравнение (4.52) справедливо с точностью до первого порядка относительно wnj.
П
•*» (wnix. У, X)-AV
J P I w„ I2 dV
(4.49)
Р„(0. ф)— 2лс5 ^QrFn-
ф№ (4.50)
моды:
з
YjtInik
I.k
(4.51)
Ящк =JpT wni4 + WnkXi — I-S/ft ? wniXi\ dV, (4.52)
і
fit (flx> fty> ^z) fn (0> ф)
, (4.53)
(4.54)
(4.55)
286
Э. Амальди, Г. Пищелла
б. Поглощение гравитационных волн. Отклик п-й моды на гравитационные волны определяется уравнением
X! ^ikq njk /. к_____
JpIwnPdK
{.(<>+Ir*.+•».-т Ґ. .....• <4-56»
Когда короткий импульс неполяризованного гравитационного излучения, распространяющегося в направлении (пХу пу, п?), падает на неподвижную болванку, последняя поглощает на единичный интервал частот энергию
fSpdnP + a’IePU./l'.
Jt3G
- MvlАоJn К- «„» nz) F (v„)> (4.57)
где
F(v)
Ґ I +°0
Jtc3V2 і Г
~~%G~ j J
V I -OO
Hyy 2 н- ешйі
+
+00
(4.58)
есть спектральная плотность энергии-импульса гравитационных волн.
в. Свойства симметрии болванок. Гравитационная болванка характеризуется свойствами симметрии, которые, как отметила токийская группа [84], могут быть легко классифицированы путем использования результатов применения теории групп к изучению колебательных состояний многоатомных молекул [46, 144, 171]. Если группа симметрии болванки установлена, то классификация ее собственных мод определяется по таблицам характеров групп симметрии, приведенных в любой из книг или статей, упомянутых выше. Соответствующая собственная мода болванки будет реагировать на гравитационное излучение только в том случае, если тензор qniu определяемый уравнением (4.52), отличен от нуля. Это непосредственно следует из свойств симметрии собственного состояния. Результаты, полученные Хи-ракавой и др. [84] с помощью этой процедуры, представлены в табл. А2, где также резюмированы те определения теории точечных групп, которые могут оказаться необходимыми при чтении таблицы.
г. Тензор квадрупольного момента и диаграмма направленности. Посредством подходящего вращения осей тензор квадрупольного момента Djki определяемый уравнением (1.4), всегда может быть диагонализирован, так что единственными ненуле-
7. Поиск гравитационных волн
287
выми компонентами являются компоненты с одинаковыми индексами:
dU=V (*/ “ тr2)dv (/= 12> 3)-
(4.59)
Из этого выражения сразу следует, что квадрупольный тензор (1.4) имеет след, равный нулю:
D11+ ?>22 +А* = 0. (4.60)
Из этого тождества следует, что для болванки веберовского
типа (с симметрией D00 и колебательной модой Sg) имеют
место равенства
D22 = D33 = — -j D ц,
а для квадратной болванки токийской группы (с симметрией D4a и колебательной модой Big)
Dw = — ZJj1, D33 = 0.
В общем случае тензор <7/* может быть выражен через параметр асимметрии т|, определяемый соотношениями
D22=-Duil -л)/2, Ав = -Дп(1 + л)/2, (4.61)
так что можно написать
q,k= const I
I
0 -0
о
JLnJi
2
о -
(4.62)
Веберовский цилиндр, работающий в моде А, соответствует
11 = 0; поэтому
1 0 0
Я/ft'
о
? 0
0 0 -у
Его эффективная площадь и диаграмма направленности (рис. 4.4, а) имеют вид
A0 = -Jgf- = 0,44/2 = 0,44(1,5)2 = 0,66 м2,
/(Q4cP)=rXsin20-
(4.63)
(4.64)
288
Э. Амальди, Г. Пиццелла
9 = 0°
9 = 90°
Рис. 4.4. Диаграммы направленности: а — цилиндрической болванки; б — квадратной болванки [82, 113, 114].
Квадратная болванка токийской группы, работающая в моде Bigi соответствует rj = I. В приближении (4.44) получаем
1 0 0
М/(/-4а)
при эффективной площади
а 3 /»(/ - 2а)2
nQ- 8 /* — 6/а + 12а2
-1 0 о о
— Z2 8 1 •
(4.65)
откуда для M = 1400 кг, I = 1,65 м, а « 0,14 м следует
A0 = 0,77 м2.
Ее диаграмма направленности определяется функцией
/(9> ф) = 4 — T s‘n29 + 4 sin29 cos2 2ф, (4.66)
которая в полярных координатах имеет два пика в 4 дБ при, 0 = 0° и 0 == 180° (рис. 4.4,6).
4.1.4. Материал болванки и подвеска
Чувствительность IeXg резонансной антенны (разд. 8) определенным образом зависит от устройства болванки и структуры датчика, но эта зависимость всегда включает три фундамен-
