Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.1. Сравнение передаточных функций для осциллятора (Го) и для болванки (T); CD0 = 10 000 рад/с.
Теперь можно вычислить интеграл (4.10), полагая функцию Я (со) известной. Рассмотрим три частных случая, которые тем не менее представляют большое разнообразие возможных типов гравитационных волн.
а. Синусоидальный резонансный волновой пакет. Рассмотрим функцию
!A0 cos (о0/ при I
і (4.22)
0 при 111"
I > 2 xg>
фурье-образ которой имеет вид
н /„Л _ hOxS Г sin (”>0 - ю) Tg/2 I sin (tflO + ”>) V21 /49оч
V 2 L («.о -«.) тй/2 "Г (CD0 + (0) Tg/2 J-
7. Поиск гравитационных волн
277
Интеграл (4.Ю) может быть легко вычислен для случая, когда волновой пакет имеет ширину не менее нескольких длий волн. Мы получаем [133]
КО = lIihQl [ехр (т8/4т0) — ехр (— Tg/4-Co)] ехр (— //2т0) sin + я)>
(4.24)
что справедливо для t ^ т8/2. Отсюда вытекают несколько интересных более частных случаев.
Для тг <С 4то, т. е. очень короткого всплеска, имеем
і (0 = 1AMoV ехр (— //2т0) sin ((O0/ + я). (4.25)
Поскольку эти уравнения справедливы для t tg/2, удобно отсчитывать время t' от момента t = tg/2. После замены t' = t —
— Tg/2 из (4.24) получаем
?(0=4 AoQ/f1 - ехр(- ^j-)] ехр (- зУ
sin ((D0/' + у (D0Tg + я) . (4.26)
Это выражение показывает, насколько возрастает амплитуда смещения в зависимости от длительности волнового пакета Tg. Для Xg то это выражение достигает максимального значения
I (/') = у hOQl ехр (— ) sin ((D0/' + J (D0Tg + я) , (4.27)
которое для f < T0 совпадает со случаем монохроматической волны.
б. Синусоидальный нерезонансный волновой пакет. В этом случае результаты описываются приведенными выше формулами, умноженными на величину
Sin (CD0- CDg) Tg/2 (CD0-CDg) Tg/2 ¦ (4-28)
где сOg — угловая частота волнового пакета в пределах его длительности т g.
в. Прямоугольный волновой импульс. Рассмотрим функцию
С H0 при I /1 ^ т„/2,
л(/)=={о при m>Tg/2. (4'29)
В этом случае решение можно получить из предыдущего случая, полагая в (4.22) coo = 0 [ср. (4.28) с (4.22) ]. Мы получаем
X sin ((D0/+ я). (4.30)
278
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Этот результат показывает, что для получения максимально возможного смещения значение функции
sin (o0Tg/2
(OoXg/2
должно быть близким к ее главному максимуму, т. е.
Te < 2/©о, (4.31)
что дает всплеск продолжительностью менее 1 мс для антенн веберовского типа.
Однако представляет интерес также отклик прибора при других максимумах вышеприведенной функции, которые имеют место при
Tg = (2/С + 1)я/ю0- (4.32)
Из уравнений (4.2) и (4.32) получаем
I (0 = Ы (2/с + і) я [ехр(іт7) ~
~ exP (~ 1?] exP (~ іУ Sin ^ + ^ ^4,33^
и, следовательно, для Tg < 4то имеем
S(') = Y M + 1) я exP (~ 2^~) sin (fl^ + (4-34)
Уравнение (4.30) показывает, что для коротких нерезонансных импульсов, удовлетворяющих условию (4.31), резонансная антенна ведет себя подобно системе двух свободных масс в той мере, в какой это относится к амплитуде колебаний Ао//2. В данном случае, однако, антенна продолжает колебаться в течение времени порядка то после прохождения импульса гравитационной волны, допуская тем самым лучшее определение сигнала. Напротив, в случае двух свободных масс после прохождений импульса обе массы возвращаются в первоначальное положение.
Рассмотрим теперь колебания антенны также при z ф ±L/2 в частном случае монохроматической резонансной волны. Ее фурье-образ есть
H (со) = JtA0 [б ((D0 — (D) + б ((D0 + (D)]. (4.35)
Уравнение (4.10) можно легко решить для соответствующей передаточной функции (4.11); при этом получим
I (г, /) = 1 Sin sin ((O0/ я), (4.36)
7. Поиск гравитационных волн
279
что следует сравнить с (4.27) при t' = 0 и, следовательно, при t = тг/2.
Выражение (4.36) представляет стационарную волну с длиной волны L/2, давая нулевое смещение в центре масс, как и должно быть, и максимальное смещение на концах болванки. Это существенно при вычислении напряжений, для чего необходимо находить частную производную от | (z, t) по z.
Наконец, чтобы завершить этот раздел, вычислим поперечное сечение антенны [145] для коротких резонансных всплесков гравитационных волн. Поперечное сечение определяется уравнением
OO
&А = \ Otb(V)F(у)dv, (4.37)
О
где Sa — поглощаемая антенной энергия, F(v) — энергия гравитационной волны на единицу площади и единицу ширины полосы частот, а агв (v) — поперечное сечение.
Для короткого резонансного всплеска можно ограничиться интегрированием вблизи резонансной частоты и рассматривать F(v) как постоянную в пределах ширины резонанса:
OO
&А ** F (v0) ^ агв (v) dv = F (v0) агв, (4.38)
о
где, согласно (3.14), спектральная плотность энергии (энергия на единицу площади и ширины полосы) дается выражением
(3.18), деленным на Av = Tj1:
F (Vo) = 32ея0 ©оАот|. (4.39)
Из (4.25), (4.19) и (4.16) получаем
= ± Mnk2 = M<4vXx2g/4n\ (4.40)
Таким образом, мы имеем
01-8 = !"!(т")2^ (4.41а)
что для болванки веберовского типа составляет величину порядка IO-21 см2 Гц. Напомним, что это выражение относится
