Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
2) система подвески болванки должна быть разработана и смонтирована так, чтобы уменьшить до минимума передачу от лаборатории любых механических колебаний, особенно колебаний выбранных частот;
3) болванка должна быть подвешена в вакууме, чтобы устранить торможение ее колебаний газом;
4) болванка, датчик и система его связи с предусилителем должны быть электрически и магнитно экранированы;
') Cm. также [185] и статью Блэйра в сборнике [180] (с. 299). — Прим% перев.
7. Поиск гравитационных волн
273
Таблица 4.1
Свойства материалов для болванок
р, г/см8 O5, М/с
Алюминий 2,7 5100 (Т = 290 К) 5 400 (Т = 4,2 К)
Кварц 2,2 5 600
Плавленый кварц 2,3 5760
Кристаллический кремний 2,4 8 300
Сапфир (Al2O3) 4,2 10000
Тантал 16.6 3 350
Ниобий 8,5 3 620
5) датчик не должен обладать существенной внутренней диссипацией.
4.1.1. Резонансное взаимодействие с одномерной болванкой.
Колебания в одномерном упругом теле удовлетворяют уравнению [951
р = (4Л)
где р — плотность массы; |(z,t) — смещение из положения рав-
новесия элемента массы, находящегося в точке г в момент времени t\ o(z,t) — комітента напряжения вдоль оси z, a F — внешняя сила на единицу объема вдоль оси. г, действующая на элемент массы.
Напряжение может быть выражено через смещение по закону Гука
а= У — + D— — (42)
° 1 dz ^и dt dz ’
где Y—модуль Юнга, a D — коэффициент, характеризующий
диссипативные силы.
Теперь необходимо выразить F через характеристики падающей гравитационной волны, которую для простоты будем считать плоской, распространяющейся вдоль оси х перпендикулярно оси г и поляризованной следующим образом: Hyz = Iizy = О, Iiyy = — hzz = h(t). Примем z = 0 за центр масс антенны, положение которого остается неизменным при действии волны. Рассмотрим два элемента ^ассы dm = pdV, расположенных симметрично в точках +2 и —z. Они движутся один относительно другого так, как если бы они были подвержены действию силы
dF+z, _г = ^ dm2zh. (4.3)
274
Э. Амальди, Г. Пиццелла
Поэтому в силу симметрии задачи отдельный элемент массы движется относительно начала так, как если бы на единицу его объема действовала сила
M = IpzA. (4.4)
Подставляя (4.2) и (4.4) в (4.1), получаем уравнение [131]
я JLifL=P^
р dt2 дг2 и dt дг! 2 * dt* '
Обозначая через Х(г,ю) и Я (со) фурье-образы |(z, t) и Л (ґ), получаем решение в виде
X(z, ю) = X1 (ю)+ X2(со)е'“г + -^-2, (4.6)
где
а = Кр ДУ +toD)]’*, (4.7)
a Xi (о) и X2(со) могут быть определены из граничных условий:
а) центр масс должен п.окоиться, что дает
X1(CD) = -X2(CD); (4.8)
б) на концах болванки, т. е. в точках z = ±L/2, где L — ее
длина, напряжение должно обращаться в нуль, откуда следует
X2 (cd) = — H (cd)/4/<x cos (4 c^)- (4-9)
Таким образом, мы получаем решение
1 Ч*оо
йГ J т(z, CO)H(ю)e«rfffl (4.10)
— ОО
с передаточной функцией
T(г, w) = Uz----------25TTlTvV (4.11)
1 V «cos {jaL)J
Для оценки величины (4.10) рассмотрим поведение T(z, ю). Сразу же заметим, что могут существовать значения а, при которых cos aL) ~ 0. Определим величину Q соотношением
Q = Y/(i>D; (4.12)
она велика при малых потерях. Тогда из (4.7) получаем
v(‘—25-) + 0(q'!)' (4лз)
где Vs — скорость звука в материале болванки
о. = 07р)%. (4.14)
7. Поиск гравитационных волн
275
Тогда для значений со, равных
«>K = n(2K+l)vJL, (4.15)
при К, равном нулю или целому числу, значение cos бу-
дет иметь порядок Q-1, если Q » I. В этом случае наибольший вклад в интеграл (4.10) дают угловые частоты, близкие к ак-Рассмотрим теперь угловую частоту
<O0 = UVs/L. (4.16)
Оценка квадрата модуля передаточной функции вблизи этой частоты при z = ±L/2 дает
Ir(iT10)I 4со2(со — CD0)2 + (<»2g>o/Q2) • (4Л7)
Важно отметить, что эта передаточная функция идентична получаемой из уравнения
S + -J 1 + ®о6 = |М. (4.18)
которое описывает движение осциллятора, состоящего из двух точечных масс на среднем расстоянии
I = ALIn2 (4.19)
с резонансной угловой частотой о0 и временем затухания
T0 = Q/g>o, (4.20)
на который действует гравитационная волна, распространяющаяся перпендикулярно его оси [в уравнении (4.18) ? = 5(/) означает смещение из равновесного, положения одной или другой массы].
Конкретнее, передаточная функция для осциллятора имеет вид
rO и = T Tl-------2V 7Г— • (4.21)
2 (со2 — (Oq) — (*<о/т0)
Численное сравнение (4.21) с (4.11) (рис. 4.1) показывает, что эти две передаточные функции равны друг другу с точностью
до нескольких процентов даже для частот, далеких от о0, при
условии, что они не находятся вблизи других резонансных частот сок болванки.
Наконец, в решении (4.10) можно использовать отдельно для каждой резонансной частоты выражение (4.21) для передаточной функции на концах болванки, если справедливо уравнение (4.19). Однако эквивалентность болванки с осциллятором определяется уравнением (4.19) не единственным образом,
276
Э. А мальди, Г. Пиццелла
поскольку в дифференциальных уравнениях (4.5) и (4.18) не появляется масса вследствие того, что как гравитационная сила, так и восстанавливающая и диссипативная силы не зависят от массы. Если вводятся дополнительные массовые силы (типа броуновских сил), то уравнение (4.19) будет дополняться другим уравнением, связывающим массу M болванки с точечными массами т осциллятора [уравнение (5.5)].
