Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Для рассмотрения периодического изменения расстояния между частицами с точки зрения, например, частицы А введем ее собственную систему отсчета следующим образом. Свяжем с А: 1) начало пространственных координат ^ = O, где поместим воображаемые часы для измерения собственного времени сх = х°; 2) три воображаемых гироскопа, определяющих направления ортогональных пространственных осей системы отсчета. Такая координатная система является локальной лоренцевой вдоль всей мировой линии частицы А. Когда гравита-
A+ = e+i4+, Ах = бхЛх»
(2.16а)
(2.166)
2.2.1. Случай двух свободно падающих частиц [159]
7. Поиск гравитационных волн
251
ционная волна пересекает траектории обеих свободно падающих частиц, волновая часть ее метрического тензора вызывает периодические изменения вектора = разделяющего
частицы, который предполагается очень малым. Изменение п* в зависимости от собственного времени описывается уравнением [159]
D2Ii^ ,. dx\ a dx\
Dx2 ^ ctPv ~~dx~п ~ЧтГ=®' (2- 17а)
где DjDx — абсолютная производная.
Уравнения (2.17а), известные как уравнения геодезического отклонения, должны быть справедливы в точке = 0, где
T^y исчезают для всех X0j так что dT*y/dx также равны нулю. Таким образом, абсолютные производные совпадают с обыкновенными производными, и уравнения (2.17а) ,приводятся к виду
х в і k
-??-=-RLxkB, (2.176)
где все величины измерены в собственной системе отсчета частицы А (рис. 2.1). Существует тем не менее TT-координатная система, которая с точностью до первого порядка относительно возмущений Л/Г метрики движется вместе с частицей Л и ее собственной системой отсчета.
С точностью до первого порядка по Aj* ТТ-координатное время t совпадает с собственным временем т. В результате уравнения (2.17) принимают вид
Пространство
Рис. 2.1. Мировые линии двух свободно падающих частиц, находящихся под действием гравитационной волны [108].
іТТ
d* X
¦ = — RokoxfB ¦
dt2 1 Misu-V0 2с® dt2 Хв (2.18)
и являются уравнениями движения частицы В в собственной системе отсчета частицы А, когда на них падает- гравитационная волна Hjk- Если частица В покоится и находится на малом расстоянии х*(0) от частицы А до того момента t = т = 0, ко, гда они подвергаются действию волны, то
(2]9)
Из (2.10) и (2.12а) следует, что если вектор хкв, разделяющий частицы, лежит в направлении распространения волны, то
252
9. Амальди, Г. Пиццелла
колебания отсутствуют:
hJkX% (0) ¦
AjftV = 0.
(2.20)
Таким образом, единственными компонентами Xia(X)9 осциллирующими с течением собственного времени, являются компоненты, поперечные по отношению к вектору распространения волны kL Изменения этих компонент отражают изменения
TT
hjk hjk в начале пространственных координат *^ = 0.
2.2.2. Случай двух частиц, взаимодействующих посредством негравитационных сил
Этот случай иллюстрируется на рис. 2.2 идеализированной системой, в котооой соединяющая две точечные массы А и В
невесомая пружина представляет негравитационное взаимодействие.
В данном случае осцилляции расстояния между двумя массами рассматриваются с точки зрения их центра масс О, для которого, как в разд. 2.2.1, определяем собственную систему отсчета с тем отличием, что вместо точки А начало поместим в точку О. Если осциллятор ускоряется (т. е. не находится в свободном падении), то гироскопы, введенные для выделения направлений пространственных осей, также должны ускоряться соответствующей силой, приложенной к центру масс каждого из них, так что к системе в целом и любой ее части не будут приложены моменты сил [108].
В рассматриваемом случае уравнения (2.17а) заменяются уравнениями, впервые полученными Вебером [159]:
D2Tp , „Ц dxa dxy
Рис. 2.2. Две точечные массы А и Bi соединенные невесомой пружиной, образуют осциллятор, чувствительный к гравитационным волнам.
Dx2
dx
I pi* „3
(2.21)
где Ftl есть 4-сила, которая представляет негравитационное взаимодействие частиц Л и В. В общем случае F^ имеет элект-рэмагнитное происхождение, поскольку разные части пружины связаны между собой электромагнитными силами. В отсутствие гравитации (і?**ару = 0) электромагнитные силы, действующие на каждую часть осциллятора, уравновешиваются, и F** исчезает, так что ускорение отсутствует. В статическом поле
7. Поиск гравитационных волн
253
тяготения (^aPv постоянны во времени) осциллятор меняет свою длину до тех пор, пока неуравновешенные электромагнитные силы не компенсируют точно это статическое гравитационное поле.
Например, упругое тело в гравитационном поле Земли будет слегка сжиматься в горизонтальном направлении вследствие неоднородности поля, что отражается в наличии ненулевых компонент тензора Римана.
Представляет интерес случай, когда R^afty меняется со временем, поскольку это вызовет изменения со временем двух других членов в уравнении (2.21). Это означает, что в данном случае будут наблюдаться ускорения обеих масс А и В осциллятора, по которым с помощью уравнений (2.21) можно вычислить RV OLfty
