Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Карих Е.Д. -> "Оптоэлектроника" -> 22

Оптоэлектроника - Карих Е.Д.

Карих Е.Д. Оптоэлектроника — Мн.: БГУ, 2002. — 107 c.
Скачать (прямая ссылка): optoelektronika2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 41 >> Следующая

10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ляющая электрического поля на проводящих стенках куба равна нулю, на каждой из них будет выполняться граничное условие:
Eх Я = 0, (2.18)
где Я, (i = 1, 2, ... , 6) - вектор нормали к соответствующей грани куба.
Решение волнового уравнения (2.8), удовлетворяющее граничным условиям (2.18), имеет вид:
Ek = Ek о (x, y, z )• sin (at + yk 0), (2.19)
где фк0 - начальная фаза колебаний. Пространственная конфигурация поля в полости соответствует стоячим световым волнам вида:
Ek0x = Ek0x • COs (kxx) • sin(kyy)¦ sin(kzz),
Ek0y = Ek0y • sin(kxx) • COs (kyy^ sin(kzz), (2.20)
Ek0z = Ek0z • sin(kxx)• sin(kyy)• COs (kzz),
причем составляющие волнового вектора удовлетворяют соотношениям:
kX + ky + k2 = k2, (2.21)
kx = mx L, ky = my L, kz = mz L, (2.22)
где mx, my, mz = 0,1,2,... - произвольные целые числа.
Из уравнения Максвелла (2.3) и материального уравнения (2.5) следует, что для электронейтральной среды, заполняющей полость,
VEk = 0. (2.23)
Согласно выражению (2.19), это означает, что
VEk 0 = 0. (2.24)
Выполняя дифференцирование в (2.24) с учетом выражений (2.20), нетрудно убедиться, что для стоячих световых волн в полости
Ekk = 0. (2.25)
Это равенство говорит об ортогональности векторов E и k. Если числа mx, my и mz заданы, то вектор k определен и в перпендикулярной ему плоскости остаются только две степени свободы для выбора направления вектора E. Другими словами, при заданном k световая волна может иметь два независимых состояния поляризации.
Как следует из выражений (2.20), числа mx, my и mz определяют
количество узлов стоячей волны в полости по соответствующим координатным осям. Таким образом, пространство волновых векторов образует трехмерную решетку, координаты узлов которой задаются формулами (2.22). Объем элементарной ячейки этой решетки равен
11
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
8п 3
Akx Aky Akz = — . (2.26)
L
Каждой такой ячейке соответствуют две стоячие волны (моды) со взаимно ортогональными поляризациями.
Рассчитаем число мод, приходящихся на частотный интервал от m до m + dm. Волновое число k и частота m связаны соотношением m = vk. Поэтому в k-пространстве данному интервалу частот соответствует шаровой слой радиусом k = m/v, толщиной dk = dm/и и объемом
2 2/3
4nk dk = 4nm dm/ v . Обозначим плотность состояний поля в полости через g(m). Разделив объем шарового слоя на объем элементарной ячейки, на ширину спектрального интервала dm, на объем полости V и умножив на 2, чтобы учесть две возможные поляризации, получим:
2
g (m ) = 4^ (2.27)
П V
Полученный результат не зависит от формы и размеров полости. Поэтому при L ® ? и v = с выражение (2.27) дает плотность мод светового поля в свободном пространстве (вакууме).
Разложение поля на осцилляторы. Итак, световое поле можно представить в виде набора дискретных волн (мод) с различными значениями вектора k. Запишем энергию колебаний для k-той моды поля:
Uk (t ) = 2 Jta) Е2 + rn> HI) dV. (2.28)
2 V
Поскольку электрическая и магнитная составляющие волны имеют одинаковую энергию, вместо формулы (2.39) можно записать:
Uk(t)=к,ЕkdV. (2.29)
V
Выразим напряженность электрического поля через векторный потенциал с помощью формул (2.11), (2.13) и (2.14):
Ek = i® k
-i (<akt - kr) r * i (®kt - kr)
a0ke v k '- a0keK k '
(2.30)
Так как мгновенное значение энергии поля недоступно для измерения, усредним Uk(t) по периоду световых колебаний. Подставив выражение (2.30) в формулу (2.29) и выполнив усреднение по времени, получим:
Uk = 2V??0a0ka0k . (2.31)
Введем новые переменные Qk и Pk, определив их соотношениями
Qk =4щ/ (a0k + a0*k I (2.32)
Pk =- (a0k - a0*k). (2.33)
12
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Тогда a0k и a*k выразятся через Qk и Pk следующим образом:
a0k =~----(mkQk + iPk ), (2-34)
2^W SS0V
a*k = --1=Vi^Qk - iPk )• (2.35)
2^W ee0V
№i
"0V
Дивергенция векторного потенциала, согласно формуле (2.10), равна нулю. Используя выражение (2.13) для Ak (r, t), легко убедиться, что
ka0k = ka0*k = 0. (2.36)
При этом из (2.32) и (2.33) сразу же следует, что
kQk = 0 и kPk = 0. (2.37)
Таким образом, векторы Qk и Pk перпендикулярны направлению распространения волны, а следовательно, имеют по два независимых направления поляризации, которые мы будем обозначать индексом о.
Подставляя a0k и a0*k из выражений (2.34) и (2.35) в формулу (2.31) для средней энергии, находим:
=1 (p0 + ulQl). (2.38)
Uko 2
Выражение (2.38) представляет собой гамильтониан классического гармонического осциллятора. Для того чтобы получить полную энергию поля U, необходимо просуммировать значения Uko по двум поляризациям о и всем возможным значениям волнового вектора k :
2 2 1 / ч
U = 'E'EUko =ЕЕ 2 (p2 + mlQl). (2.39)
k о=1 k о=12
Вторичное квантование: переход к фотонному представлению.
При исследовании поведения квантовомеханических объектов во времени используются два различных подхода. В первом исследуется изменение состояния данного микрообъекта во времени. Во втором изучается изменение числа микрообъектов в определенном квантовом состоянии. В отношении оптического излучения первый подход применить нельзя, т. к. при взаимодействии света с веществом фотоны рождаются или исчезают и следить за изменением состояния какого-либо отдельного фотона невозможно. Поэтому вторым подходом, который называется методом вторичного квантования. В этом методе переменные Р!со и Qka.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 41 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed