Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Волновые фронты, обладающие центральной симметрией относительно акустической оси, мы будем называть осесимметричны-Рис 1.1. ми- Плоскость зеркальной сим-
метрии фронта, проходящую через акустическую ось, назовем осевой плоскостью. Для сферического волнового фронта осевой плоскостью будет любая плоскость, проходящая через акустическую ось, а для цилиндрического — единственная плоскость, проходящая через акустическую ось и ось цилиндрической поверхности сравнения. Плоскость, ортогональная акустической оси фронта и проходящая через максимум распределения поля на этой оси, называется фокальной плоскостью.
Направления вдоль акустической оси фронта z и вдоль прямой г/, лежащей в фокальной плоскости и ортогональной линии пересечения фокальной и осевой плоскостей, назовем главными направлениями сходящегося волнового фронта. Центр кривизны О поверхности сравнения 2 шкювем геометрическим фокусом сходящегося волнового фронта. Плоскость, ортогональную акустической оси и проходящую через геометрический фокус, назовем геометрической фокальной плоскостью.
1.2.2. Методы Рэлея и Дебая. Метод Рэлея состоит в вычислении полей путем интегрирования по плоской излучающей поверхности [8]. При использовании его можно ввести, как и в случае криволинейных фронтов, плоскую поверхность сравнения 2, задать на ней распределения амплитуд и фаз и производить интегрирова-
$ 1.2]
ФОКУСИРОВАНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
19
пие но поверхности сравнения. В методе Дебая интегрирование производится по криволинейной поверхности, совпадающей со\сходящимся волновым фронтом.
В работе [9] Дебай впервые при вычислении волновых полей в фокальной области фокусирующих систем предложил, во-первь^с, абстрагироваться от источника волн и считать, что волны приходят из бесконечности, и, во-вторых, при вычислении поля интегрирование производить непосредственно по поверхности сходящегося волнового фронта. Для того чтобы получить поле в фокальной области, Дебай выбрал решение, удовлетворяющее принципу излучения. При этом в качестве решения получается сходящийся к фокусу волновой фронт, который расходится после прохождения фокальной области. В формулах Дебая интегрирование ведется на очень больших расстояниях от точки наблюдения (теоретически— на бесконечно больших расстояниях). Поэтому подынтегральные выражения представляют собой плоские волны. Физический смысл формул Дебая — суммирование набора плоских волн, приходящих из разных направлений в пределах телесного угла, ограничивающего сферический волновой фронт, или в пределах плоского угла, ограничивающего цилиндрический волновой фронт. Интегрирование ведется по поверхности сферы (в случае сферического фронта) или по дуге окружности (в случае цилиндрического фронта), в результате чего на конечном расстоянии от фокуса получается дифракционная картина поля сходящейся волны.
Получим интегральные выражения для потенциала в фокальной области сходящейся сферической и цилиндрической волн, пользуясь методом Дебая. Для этого в формулах (1.1.13) и (1.1.14) произведем интегрирование соответственно по сферической и цилиндрической поверхностям с радиусами кривизны f9 учитывая, что J2(c) = P sin Є dQ Жр, а гі2(ц) = f da. Тогда
2л 0m
Фс = - (-?:) J <*Ф J h (- kR) R-1 sin 8 <*Є, (1)
а7П
Фц=-у*о/ J HfHkR)^, (2)
20 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
где R имеет вид (1.1.4). Заменив подынтегральную функцию в (2) ее асимптотическим разложением при kR > 1, найдем
ф -ivofbin/*) С htlBda. (3)
Рассмотрим распределение потенциала в фокальной области, когда г0 «С /, и в выражениях (1) и (3) положим T?-1 « R~h « f-\ а
R ж f — Го cos Y. (4)
Это соответствует пренебрежению незначительным ИЗМЄт нением амплитуды волны за счет малого изменения расстояния в фокальной области и учету фазы волны при помощи приближенного выражения (4). Тогда получим формулы Дебая [9]:
ф° = ТІ h <~ 0<) j d(f J h (Pcos Y)sin Є d9, (5)
/—7— am
-^-11(-?) J h[pcos(a-a0)]da. (6)
-?
Если амплитуда по волновому фронту распределена неравномерно, но симметрично относительно- акустической оси, то из формул (1.1.13) и (1.1.14) получим обобщенные формулы Дебая:
фД=-Т J vz(a)H^2)(kR)da. (8)
Впервые обобщенную формулу Дебая (7) рассматривали Розенберг [10] при исследовании полей сходящихся осесимметричных волновых фронтов, Малюжинец
фокусирование звукооых волн
21
[11] при исследовании поля зональной пластинки и Тартаковский [12] «при исследовании распределения фазы в фокальной области. Обобщенная формула (8) впервые применена Розенбергом [13]* при расчете коэффициентов усиления сходящихся цилиндрических волновых фронтов, а также Розенбергом и Каневским при вычислении полей в фокальной области этих фронтов [5, 14].
Введя в (4) значение cosy из (1.1.5) и учитывая интегральное представление функции Бесселя, найдем
Фс = ^0/Ь(-(тс) X
X J /0 (р sin B0 sin 6) h(p cos G0 cos 6) sin 0 do. (9) о
Условия применимости формул Дебая имеют вид / » Я, L > Л, Го < /, где L — линейные размеры фронта. Переходя к звуковому давлению (1.1.8), из формул (6) и (9) получим
