Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фокусирование упругих волн при больших амплитудах, когда существенную роль играют нелинейные эффекты, подробно рассмотрел Наугольных [49].
В настоящем параграфе мы рассмотрим сначала влияние диссипации энергии, обусловленное «линейным» (малоамплитудным) поглощением, на положение окрестности фокуса [50] >и на распределение звукового давления в фокальной области [51], а затем привздем результаты работ [49, 52]. Поглощение в среде будем учитывать введением комплексного волнового числа
A = И), (1)
в котором б=.^/А = ^/2я, X9I — поглощение на длину
§ 53]
УЧЕТ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В СРЕДЕ
187
волны, k = 2яД — волновое число в среде без диссипации энергии. Если в полученных выше формулах, описывающих поле, сделать замену k на ft, то формулы окажутся справедливыми при фокусировании в поглощающих средах.
5.3.1. Линейное поглощение.
5.3.1.1. Положение окрестности фокуса. Диссипация энергии в среде, кроме более медленного нарастания амплитуды в сходящейся волне, может вызвать такие особенности, как смещение фокуса. Поскольку это явление может происходить в окрестности фокуса, а коэффициент поглощения — малая величина, то при описании его ограничимся квадратичными членами по координатам и линейными по коэффициенту поглощения.
Рассмотрим поле в окрзстности фокуса цилиндрического и сферического фронтов. Для этого при помощи формул (3.1.1) и (1) вычислим поле в диссипативной среде и из уравнения р2 = 0 получим кривую, ограничивающую окрестность фокуса, как это сделано в п. 3.4.2.1:
ящ?2 + ад2 + 2а3ц? = 1, (2)
ciic (?2 + л2) + (*ic - а2с) - 2я3с? = 1 -
Здесь а1(н) и а2(х) — коэффициенты Зоммерфельда (3.4.21) и (3.4.22),
ЯЗц = 6Si(Om), язе = 6(1 +cos 0m), (3)
a Sn (am) = (sinnam)/nam. Уравнения (2) описывают эллипсы, смещенные в сторону распространения волнового фронта на величины
^ = МФц(а«.), Zc = ^с(вт), (4)
где
(<*m) = S1 (ат)/я 11 + S2 (aw) - 2s? (ат)], 4>с (вт) = (3/я) (1 + cos 0w)/( 1 - cos Єт)*.
В данном приближении смещения z(ii) прямо пропорциональны %ч. Количественная оценка эффекта изменения фокусного расстояния для такой сравнительно сильно поглощающей жидкости, как уксусная кислота (Y = 0,225 см-*1, V = 0,5 МГц), показывает, что Z4 « 0,02 см, гР « 0,01 см. Это означает, что даже
188
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ
[ГЛ. 5
в сильно поглощающих средах смещение окрестности фокуса составляет дссятыз доли длины волны. Приведенные расчеты применимы и к оптическим фокусирующим системам. Однако в последнем случае длина волны столь мала, что смещение окрестности фокуса практически ничтожно.
5.3.1.2. Распределение звукового давления. Для цилиндрического фронта, воспользовавшись формулами (3.1.3) и теоремой сложения функций Бесселя, получим, ограничиваясь линейным членом по б [51],
OO
PlPf= 2 >Vn (P) {Sn (CCm) COSAIa0 + п=0
+ (бр/2) ls„_i (am) cos (и — 1) a,, I s„ 11 (ccm) cos (a + 1) ccTO]},
(5)
причем звуковое давление в геометрическом фокусе Pf = аЛро + б2 h(—(Гц —yf — ф), г|) = arctg б — дополнительный сдвиг фаз за счет поглощения, оц = kf — — я/4, єо = 1, гп = 2 при п ф 0, р = kr0.
PaIPf
о/ -f п я
/у - и,о 17 03 "V 1
UfJ
-1Z -8 -Ц О Ч 8 1ZkZ0
Рис. 5.6.
При ao = О из (5) получим выражение для распределения давления pjpf по акустической оси z в направлении навстречу сходящемуся фронту, а при с&о = я — в направлении распространения расходящегося фронта. На рис. 5.6 показаны эти распределения для волнового фронта с углом раскрытия ат = 60° при 6 = 0; 0,04 и 0,07. В отсутствие поглощения поле распределено симметрично относительно фокальной плоскости. С появле-
§ 531
УЧЕТ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В СРЕДЕ
189
нием поглощения симметрия нарушается, максимум кривой распределения поля смещается к излучателю, это смещение возрастает с увеличением б. Этот вывод на первый взгляд противоречит результату предыдущего пункта, в котором было показано, что окрестность фокуса смещается от излучателя. Однако такое смещение вычислено в квадратичном приближении. Более детальный анализ показывает, что на акустической оси минимум функции pjph лежащий между фокусом и излучателем, практически не смещается с появлением поглощения, тогда как минимум за фокусом несколько удаляется от излучателя (см. рис. 5.6). В квадратичном приближении это удаление соответствует небольшому смещению окрестности фокуса от излучателя. Максимум кривой распределения смещается к излучателю, причем на небольшую величину. Например, при б « 0,4, несколько превышающем поглощение в уксусной кислоте, kzm « 1, a zm ~ 0,2?, т. е. смещение
Рис. 5.7. Рис. 5.8.
составляет десятые доли длины волны даже в сильно поглощающих средах.
При ссо = я/2 из (5) получим распределение поля в фокальной плоскости, показанное на рис. 5.7, а при б = 0,07 (сплошная кривая) и при 6 = 0 (прерывистая кривая). Из графиков видно, что поглощение влияет незначительно на распределение поля в фокальной плоскости, проходящей через геометрический фокус. Поле
190 ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ [ГЛ. 5
