Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если углы между нормалями к излучающей поверхности и направлениями на точку наблюдения малы, то
полагают cos (/г, R) « 1. Это приближение обычно называют приближением Кирхгофа. В приближении Кирхгофа выражения (11) и (12) становятся одночленными:
Формулу (13) обычно называют формулой Рэлея [2]. Поскольку выражение (14) аналогично формуле (13), то его также можно называть формулой Рэлея для двумерного случая. Рэлей рассматривал равномерное распределение амплитуды по волновому фронту, когда V2 = V0= const.
Если в формуле (14) заменить подынтегральную функцию асимптотическим представлением, то получим
ъ—'даЧЩ**?'1- <15)
Дальнейшие упрощения формул (13) и (15) сводятся к замене выражения (4) для R приближенным выражением
R « f—rocosif, (16)
которое справедливо при г0<С/, и пренебрежению малыми изменениями амплитуды в области, где г0 <С когда в знаменателях формул (13) и (15) можно положить
16 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
R ж f; тогда
Фс
fat h(-ac) 2л /
Jh (р cos у) <Е, (17)
h (- ац) f h [р cos (а - а0)] dS, (18)
Фц
~[/2jikf
где р = Ar0, Oe = Щ — я/2, Од = Щ — я/4.
Все приведенные выше формулы справедливы только при вычислении полей внутри замкнутых областей. В то же время излучатели, встречающиеся на практике, в подавляющем большинстве случаев незамкнуты, вследствие чего эти формулы (как точные, так и приближенные), строго говоря, непригодны для исследования их полей. Для применения формул к реальным излучателям делаются дополнительные упрощающие предположения, с которыми — вследствие их противоречивости — связаны новые трудности. Эти трудности описаны, например,
статье [5]. Если имеется незамкнутый излучатель, то предполагают, что он работает в неограниченной среде, и дополняют поверхность излучателя до замкнутой путем присоединения к излучателю некоторой воображаемой поверхности; поверхность излучателя и дополнительная поверхность образуют требуемую замкнутую поверхность. Далее, предполагают, что на дополнительной части поверхности потенциал и его нормальная производная обращаются в нуль, т. е. предполагают, что поле на дополнительной поверхности отсутствует. Чтобы прямое излучение с поверхности не нарушало этого условия, дополнительную часть поверхности удаляют на бесконечно большое расстояние от поверхности излучателя.
Однако такое задание граничных условий оказывается противоречивым, так как, если потенциал и его нормальная производная равны нулю на конечном участке поверхности (в трехмерном случае) или на конечном отрезке (в двумерном случае), потенциал должен обратиться в нуль по всей рассматриваемой области [3]. Избежать описанные выше противоречия можно, применяя методы, позволяющие получить точные решения дифракционных задач, например интеграл Зоммерфель-
в работах Зоммерфельда
[4], нашей
§ 1.2]
ФОКУСИРОВАНИЕ ЗВУКОВЫХ волн
17
да [3, 6], метод Кинга [7], описанный в гл. 2, и неко-
лишь в исключительных случаях.
Таким образом,\с точки зрения строгой теории формула Грина неприменима для расчета полей незамкнутых излучателей. Междо тем ее упрощенные выражения, например (13) и (14), наглядны и имеют простой физический смысл: это — суммирование полей, излучаемых каждой точкой поверхности, колеблющейся со скоростью Vz. Поэтому естественной была попытка применить столь простой и наглядный математический аппарат к решению практических задач — вычислению полей излучателей, несмотря на указанные противоречия и трудность задания граничных условий. Формулы (13) и (15) позволяют вычислить дифракционную структуру полей со степенью точности, достаточной для практики. В частных случаях, когда удается найти точное значение поля, оно, как правило, совпадает с решением, полученным из приближенных выражений, что будет показано ниже.
§ 1.2. Фокусирование звуковых волн
1.2.1. Основные определения. При исследовании звуковых сходящихся волновых фронтов, как и в случае оптической фокусировки, между фокусом и фокусирующей системой задают поверхность S сферической или цилиндрической формы — в соответствии с симметрией задачи— с радиусом кривизны Относительно поверхности проводится сравнение фазы реального волнового фронта, вследствие чего 2 называется поверхностью сравнения*). На этой же поверхности удобно задать распределение амплитуды реального волнового фронта, после чего 2 можно рассматривать как виртуальную излучающую поверхность фокусирующей системы и при вычислении поля интегрировать по поверхности 2, абстрагируясь— в соответствии с принципом Гюйгенса — от реальной излучающей поверхности. На рис. 1.1 г0, (Do — координаты точки наблюдения, причем (0о = ао для цилиндрического и ©о = O0 для сферического фронта, со,» — угол раскрытия волнового фронта, © — теку-
*) В случае сферического фронта поверхность сравнения иногда называют опорной сферой Гаусса.
торые
найти точное решение удается
18 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
щая координата, R— расстояние от SxAo точки наблюдения, 2'— реальный волновой фронт/
Линию пересечения поверхности / сравнения S с поверхностью (От=const назовем краем волнового фронта. Ось центральной симметрии для сферического фронта и зеркальной симметрии для сечения цилиндрического волнового фронта плоскостью, ортогональной образующей цилиндрической по-^ верхности, назовем акустической осью (на рис. 1.1 ось z).
