Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая в (9) ao = 0 или ао = я и вводя обобщенную координату V= (?; sin2 am)/2, где S = kz0, получим выражение для распределения модуля звукового давления по акустической оси при |am| < 1 и v > 2:
причем знак минус берем при ао = 0, а плюс — при ao = л".
На границе области звука распределение звукового давления имеет вид
а в области «тишины» — Pn ^ h(-я/4) h (-?(+>)
+ У f sin(a„-am)J- <I2>
Из (9) следует, что поле в области звука можно приближенно представить в виде трех волн, распространившихся в точку наблюдения от ближайшей точки и от краев излучающей поверхности. Первый член в фигурных скобках описывает цилиндрическую волну и является геометрическим приближением, а второй член описывает дифракцию на краю излучателя.
В области «тишины» и на границе звука и «тишины» поле можно представить в виде двух волн, приходящих в точку наблюдения от краев волнового фронта. Из (12) получим распределение модуля звукового давления в
§ 3.1)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
81
фокальной плоскости, положив ао = я/2: ^ = (2,а„соза„)-.(*1^-
,гУя^*-'cfc (#+)_#->)])"•, (13)
Из (13) следует, что, как и в случае распределения по акустической оси, распределение давления в фокальной плоскости зависит от разности фаз волн, пришедших от наиболее и наименее удаленных точек излучающей поверхности. Для фокальной плоскости этими точками являются края излучателя.
При условии г) = куъ < 1 получим [#(+)—«2,
VR^R^If «1; тогда (13) упрощается:
РфИрА « Si(ti sin am), (14)
где si(a:) = (sinx)/x. Введем обобщенную координату в фокальной плоскости, равную полуразности фаз волн, пришедших в точку наблюдения от наиболее и наименее удаленных частей излучателя: w = k[R{+)—Rlmm)]/2. При малых ami когда sinam^am> Cosa«« 1, величина w « kyo<Xm. Тогда (14) переходит в известное выражение (4). Таким образом, формула (14), полученная при условии р^> 1, оказалась справедливой и при противоположном условии р <С 1, в частности — при р = 0.
3.1.3. Учет асимметрии поля. При вычислении поля сходящегося волнового фронта мы предполагали величину фокусного расстояния настолько большой, что пренебрегали изменением амплитуды в фокальной области. При этих условиях поле было симметричным относительно фокальной плоскости. Если учесть зависимость амплитуды волны от фокусного расстояния, то в геометрическом приближении волну можно представить в виде h{—k[f± r0 cos (a — (X0)]} I [f±r0 cos (a — ao)], причем знак плюс относится к расходящейся волне, а знак минус — ік сходящейся. Эти ,качественные рассуждения показывают, что поле относительно фокальной плоскости не симметрично. Чтобы оценить величину асимметрии и установить критерий, когда ее следует
82
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ЇГЛ. 3
учитывать, вычислим поле на акустической оси сходящегося цилиндрического фронта. При этом полагаем, как и прежде, что ?/»1. Кроме того, для упрощения расчета считаем ат<1. При ао = 0 и т| < 1 из (1.2.15) получим
Ф(?,0) у0 V"fJ2nk J h^f+^cos^ll-?cosal-^da,
—am
где ? = Z0If\ \ = kzo. Полагая cos a « 1 — а? 12, представим интеграл в виде
X
где Y = ?/— ?— Зя/4. Значение первого интеграла дает формула (5), а второй интеграл вычисляется элементарно путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования. Учитывая нулевой член ряда, для второго слагаемого в фигурных скобках получим ?am/24. Поскольку aw мало и ? < 1, этим членом можно пренебречь. В результате найдем простое выражение, учитывающее асимметрию распределения поля по акустической оси:
IPJPf 1-(1 + IvInKl) {(n/2v) [С2 (V) + S2 (V)]Y'2. (15)
Здесь C(v) и 5(v)— интегралы Френеля, a=?am/2 — обобщенная координата по акустической оси.
Из (15) следует, что степень асимметрии зависит от квадрата коэффициента усиления волнового фронта Kpi чем больше Kp9 тем симметричнее распределено звуковое давление относительно фокуса, в котором v = 0.
На рис. 3.2 приведены графики распределения звукового давления при К2Р = 20, 30 и 100. Мы видим, что с уменьшением коэффициента усиления максимум кри-
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
83
вой (волновой фокус) смещается в сторону положительных значений V9 т. е. к излучателю. Это объясняется более сильной зависимостью кривой распределения от амплитудного множителя 1/(/— Zo cos а), чем от фазового h[—k(f — Zo cos а)], что случается при малых КР.
МИ
[ -J - - ---- --
ПС.
WD U9O 30
0,2-
ИГ WO
-12 -8 -Ч О Ч 8 12 и
Рис. 3.2.
Из сравнения амплитудного и фазового множителей видно, что асимметрия может наступить при малых значениях волнового числа k. Этот вывод согласуется с зависимостью асимметрии поля от коэффициента усиления, поскольку/СрЦ) ~ k.
3.1.4. Неравномерное распределение амплитуды. Воспользуемся формулой (1.2.8), в которой на функцию распределения амплитуды наложим два ограничения: (а) должца быть кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке интервала — оо ^ a ^ оо и абсолютно интегрируемой во всем этом интервале. Эти условия являются настолько общими, что им удовлетворяют практически все функции распределения амплитуды. Для вычисления поля в фокальной области воспользуемся приемом, применяемым для вычисления полей ограниченных пучков и изложенным в монографии Бреховских [20]: ограниченный волновой фронт представляется в виде бесконечного набора плоских воли, над каждой из которых производится необходимая операция, соответствующая преобразованию волнового фронта, после чего осуществляется сложение преобразованных волн
