Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к нашему описанию приближения Ланжевена, отметим, что оно не всегда приводит к квазилинейному уравнению Ланжевена. Физическое рассмотрение часто подсказывает, что значения флуктуаций должны зависеть от значения у. Например, если у—анодный ток в вакуумной трубке, то можно ожидать, что флуктуации числа электронов, попадающих на анод, окажутся порядка корня
•230 квадратного от общего количества, т. е. они будут пропорциональны V~y. Для того чтобы это было допустимо, умножим L(t) на зависящий от у коэффициент:
y = A(y)+C(y)L(t). (8.9.4)
Это уравнение совпадает с (8.8.15) и, следовательно, не является настоящим уравнением, пока мы не добавим правило интерпретации: либо правило Ито, либо Стратоновича. Результаты оказываются разными, а значит, возникает ощущение, что дилемма Ито—Стратоновича имеет физический смысл. Однако, согласно последнему упражнению § 8.8, эту разницу можно скомпенсировать изменением А (у), которое, естественно, имеет тот же порядок, что и значение флуктуаций. Как мы видим, приближение Ланжевена дает возможность определить А (у) в (8.9.4). Следовательно, с этой доли неопределенности и противоречие Ито—Стратоновича является артефактом, связанным с неточностью при идентификации А (у) с феноменологической функцией, использованной в (8.9.1).
И наконец, возникает вопрос: как мы должны находить С (у)? В случае внешнего шума это просто отклик системы на приложенную силу, который определяется механикой системы. Для внутреннего шума общий метод нахождения С (у) отсутствует*. Однако для систем, настолько близких к равновесным, что их можно рассматривать как линейные, С является постоянной (равной VT) и может быть найдена, если известно Pe. Вне этой линейной области тот же прием, что применялся в (8.1.8), позволяет отождествить Pe с (8.1.4). Однако из-за неопределенности в выборе А (у) полученный результат не заслуживает доверия. Действительно, как будет видно в следующей главе, уравнение (8.1.4) с А (у), взятым из феноменологического уравнения (8.9.1), неверно, когда выходит за границы применимости приближения Фоккера—Планка. Следовательно, уравнение (8.1.8) также неверно. Это была первичная трудность, подмеченная Макдональдом и продемонстрированная на следующем парадоксе.
Вывод состоит в том, что феноменологический подход непригоден при работе с шумом в нелинейных системах. Невозможно постулировать нелинейное уравнение Ланжевена или Фоккера—Планка, а затем пытаться однозначно определить его коэффициенты из макроскопических данных**. Для того чтобы вывести уравнения для флуктуаций, нужно исходить из более подробного описания порождающего их механизма. С другой стороны, вывод из микроскопических уравнений с помощью техники проецирования*** является просто алгеб-
* Эта трудность продемонстрирована на примере дробового шума в токе, поддерживаемом в вакуумных трубках и полупроводниках.
** Этот вывод был продемонстрирован явно на модели обобщенной рэлеевской частицы в работе: С. Т. J. Alkemade1 N. G. van Kampen, D. К. С. Mac-Donald, Proc. Roy. Soc. (London) A271, 449 (1963).
*** S. Nakajima, Prog. Theor. Phys. 20, 948 (1958); R. Zwanzig, J. Chem. Phys 33, 1338 (1960); H. Mori, Prog. Theor. Phys. 33, 423 (1965).
231- раическим преобразованием этих уравнений и не дает ответа на вопрос, когда и почему выполняются предположения о стохастич-ности. Наш генеральный план состоит в том, что в следующей главе мы, исходя из мезоскопического описания в рамках основного кинетического уравнения, справедливость которого основывается на физическом описании системы, выведем и макроскопический закон, и описание флуктуаций.
Парадокс Бриллюэна*. Вольт-амперная характеристика металлооксидного-выпрямителя или р-п-перехода имеет вид
I = A j ехр
гУ kT
\
Г
Простой моделью является диодная цепь на рис. 16 с двумя металлическими пластинами, рабочие функции которых приведены на рисунке. Все устройство-находится в термодинамическом равновесии при температуре t (диод Алке-мейда **). Заряд Q конденсатора описывается феноменологическим уравнением
eQ
Q=-A J
ехр
kTC
I1
Если к этому уравнению добавить член Ланжевена, описывающий шум, возникающий в выпрямителе для среднего заряда <Q>, то получим
eQ
^«2>=-л|(ехР kTC Отсюда следует, что в равновесии
<Q)e =
1 ' — А > с
T уггс'
Qy
kTC
CQ2) +
2 kTC w ^ 2
Тогда диод в термодинамическом равновесии поддерживает заряд и, следовательно, напряжение на конденсаторе: выпрямители выпрямляет свои собствен, ные флуктуации!
Как бы ни был мал эффект, он нарушает второй закон термодинамики ***. Массив, состоящий из IO12 диодов, был бы способен питать маяк ****. Разрешение этого парадокса состоит в том, что необходимо учитывать контактную разность потенциалов на металлических пластинах. Даже этот пример показывает, насколько опасно добавлять член Ланжевена в нелинейные феноменологические уравнения *****.
Упражнение. Примените приближение Ланжевена для нахождения флуктуаций
тока в линейной 7?С-цепи. Упражнение. Затухание броуновской частицы в жидкости описывается в терминах ее энергии следующим уравнением:
