Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 98

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 159 >> Следующая


* Н. Mori, Prog. Theor. Phys., 53, 1617 (1975).

228- ные силы, такие, как гравитация в (8.3.5) или даже нелинейность, как в (8.3.10); для таких случаев можно обосновать (8.3.12)*.

Однако в недавние годы для описания флуктуаций в разнообразных физических системах использовали точно такие или аналогичные им уравнения, хотя источник шума в них был внутренним и физических оснований для разделения уравнения на механическую часть и случайный член с известными свойствами не было. В качестве примеров можно привести электронные устройства**, процессы релаксации ***, гидродинамику ****, диффузию *****, электромагнитное поле в веществе ******, уравнение Больцмана*******, лазеры (см. § 11.9), динамику вблизи критической точки и гравитационное поле во Вселенной ********.

Стратегия использования приближения Ланжевена в этих примерах такова. Предположим, имеется система, эволюция которой описывается феноменологически следующим детерминистическим дифференциальным уравнением:

у = А(у). (8.9.1)

Обычно у—это конечный или бесконечный набор макроскопических переменных. Мы же рассмотрим случай, когда у является одной переменной. Предположим, нам известно, что по некоторым причинам в системе должны быть флуктуации относительно этого макроскопического значения. Тогда (8.9.1) нужно дополнить членом

* В частности, ангармонический броуновский асциллятор подробно изучен в работах: J. В. Morton and S. Corrsin, J. Mathem. Phys., 10,361 (1969); К. S. J. Nordholm and R. Zwanzig, J.Statist. Phys., 11., 143 (1974); R.F.Rodriguez and N. G. van Kampen, Physica, 85A, 347 (1976); M. F. Dimentberg, Intern. J. Nonlinear Mech., 11, 83 (1976); R.C. Desai and R. Zwanzig, J.Statist. Phys., 19., 1 (1978).

** A. van der Ziel, Noise (Prentice, Englewood Cliffs, N.Y., 1954); K.M. van Vliet, J. Mathem. Phys., 12, 1981 and 1998 (1971).

*** L. Onsager and S. Machlup, Phys. Rev., 91, 1505 and 1512 (1953); R. F. Fox and G. E. Uhlenbeck, Phys. Fluids, 13, 1893 (1970).

**** L. D. Landau and E. M. Lifshits, Fluid Mechanics (Pergamon, Oxford, 1959); Mechanics, New Concepts, New Problems, New Application) Proc. 6th IUPAP Conf. on Statistical Mechanics; S. A. Rice et al. eds., University of Chicago Press, Chicago, 1972); E. H. Hauge and H. Martin-Lof, J. Statist. Phys. 7, 259 (1973); V. I. Klvatskin and V. I. Tatarski, Sov. Phys. Usp. 16, 494 (1974); Y. Kuramoto, Prog. Theor. Phys. 53 , 589 (1975).

***** D. Bedeaux and P. Mazur, Physica 73, 431 (1974).

****** L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics in Continuous Media (Pergamon, Oxford, 1960).

******* A. A. Abrikosov and I. M. Khalatnikov1 Sov. Phys. JETP 34, 135 (1958); M. Bixon and R. Zwanzig, Phys. Rev. 187, 267 (1969); R. F. Fox and G, E. Uhlenbeck, Phys. Fluids 13, 2881 (1970).

******** S. K- Ma1Modern Theory of Critical Phenomena (Benjamin, Reading, Mass, 1976) Ch. XIII; M. H. Ernst in: Fundamental Problems in Statistical Mechanics IV (Proc. Intern. Summer School in Jadwisin, Poland; E.G. D.Cohen and W. Fiszdon eds., Ars Polona, Warsawa, 1978).

229- Ланжевена

y = A(y)-\-L(t) (8.9.2)

и сделать относительно L(t) соответствующие предположения 1—4 из предыдущего параграфа. Получилось уравнение (8.8.12), которое эквивалентно (8.8.13).

Здесь возникает первая трудность. При усреднении уравнения (8.9.2) обнаруживается, что величина <і/> не удовлетворяет феноменологическому уравнению (8.9.1), которое служило нам отправной точкой, а описывается уравнением

dt <у? = <А (у)> + V2 <(у-<у»2> А" «у» + . . . . Отсюда следует, что <г/> не удовлетворяет вообще никакому дифференциальному уравнению, а «зацепляется» за высшие моменты. Это наводит на мысль, что следует ввести их равновесные значения:

dj <у> — А (<у>) + V2 <{у — <У>е)2>еЛ" (<!/>)+ • • . . (8.9.3)

Это предположение в данном случае действительно дает уравнение только для величины <і/>, хотя понятно, что оно не справедливо вдали от равновесия. Но даже вблизи равновесия оно не решает трудности, потому что если даже <у> удовлетворяет (8.9.3), то у нас уже нет оснований отождествить А (у) в этом уравнении с А (у) в феноменологическом уравнении (8.9.1). С равной правдоподобностью в (8.9.2) и (8.9.3) можно было бы взять немного другое А (у), выбранное так, чтобы его полная правая часть в (8.9.3) совпадала с феноменологическим значением А (у) в (8.9.1).

Это открывает основное направление в приложениях приближения Ланжевена к системам с внутренним шумом, обладающим нелинейным феноменологическим законом. Феноменологическое уравнение (8.9.10) справедливо только в таком приближении, когда флуктуациями можно пренебречь. Это подразумевает, что функция А (у) определяется феноменологически с некоторой долей неопределенности порядка размера флуктуаций. Если бы удалось вывести определенный вид А (у) из теории или из эксперимента, в котором флуктуациями пренебрегалось, то это не могло бы служить достаточным основанием для того, чтобы постулировать, что именно этот вид А (у) следует использовать в (8.9.2). Между ними может быть небольшое расхождение, значение которого совпадает с значением флуктуаций. На это можно не обращать внимания в макроскопическом законе, но в уравнении для самих флуктуаций такой реакцией пренебречь нельзя. Расхождение между (8.9.1) и (8.9.3) относится как раз к такому типу.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed