Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
fm (О =gN-i (e<v)./v-i, т- (6-10.8)
* А. V. Holden, Models of Stochastic Activity of Neurones (Lecture Notes in Biomathematics 12, Springer, Berlin, 1976), Ch. 7.
166- Часто используют следующий альтернативный способ вычисления функций распределения fm(0 времени первого прохождения. Возьмите одношаговый процесс и положите m^N. Тогда, по определению, fiv(t) = 0 при Г> 0. Далее, fN_i(0) = g,v,i. потому что частица, стартовавшая из iV—1 в момент / = 0, с вероятностью dt
достигнет N в течение следующего отрезка времени dZ. Однако при всех других т для этого потребуются по крайней мере два шага, поэтому вероятность для них оказаться там же в течение dt сказывается порядка (d/)2 или выше. Следовательно, fm(0) = 0 для m^N— 2.
Теперь рассмотрим малый временной интервал (0, dt) (рис. 17). В течение этого времени точка, стартовав из m(^.N—1), может перепрыгнуть в т+1 с вероятностью gmdt, в т — 1 с вероятностью rmdt или остаться в т с вероятностью 1—gm d t — rmdt. Отсюда находим
L С) = (і -Sm At—rm dt) fm {t-dt) +
+ SmAt fm^(t-dt) + rm d/ f,„-i(t — d/) Тогда для m^ZN—1 получаем
L = Smfm+ 1 + rmfm-l — (S,„ + Г J f m = Sm (En—l)fm + Гт (E^1-I ) fm.
(6.10.9)
Это соотношение называют обратным уравнением. Для наших целей его нужно решить с граничным условием /Л, (/) = 0 и начальным условием fm(0) = gN_18miN_1.
Упражнение. Покажите, что матрица в правой части уравнения (6.10.9) является транспонированной матрицей V уравнения (6.10.3)*. Тогда решение уравнения (6.10.9)
fm(t) = {etW)m. n-IgN-I (6.10.10)
идентично решению (6.10.8) уравнения (6.10.3). Упражнение. Рассмотрите двухшаговый случайный процесс: в любой момент времени имеются вероятности сделать один шаг влево или вправо. Снова найдите уравнение для fm (t).
* Этот факт применил к диффузионно контролируемым реакциям Тачия: М. Tachiya, J. Chem. Phys., 69, 2375 (1978). Аналогичная задача была рассмотрена Розенстоком: Н. В. Rosenstock, J. Mathem. Phys., 21, 1643 (1980).
167-
\ / \ / t
.....N А—-1т ^-1- dt
/77-/ т т+1
Рис. 17. Вывод обратного уравнения для распределения fm (t) времени первого прохождения Третий метод основан на использовании «уравнений восстановления». Пусть pn,m(t)— решение основного кинетического уравнения для неограниченного одношагового процесса с начальным условием р„,„(0) = 6Пі(Я. Пусть <7„, ,„ — решение с тем же начальным условием того же самого начального блуждания, но обрезанного поглощающей границей при N > т, a fm(t)dt—снова вероятность первого прохождения между t и 14- dt. Установим тождество, связывающее эти три величины.
Если п — любой участок с n^N, то частица, стартуя из т может попасть в п либо непосредственно, т. е. без прохода через Nr либо она может в некоторый момент времени, скажем между и t' dt', сначала попасть в состояние N. В последнем случае она имеет вероятность pn,N(t — (') попасть затем в п. Это выражается тождеством
t
Pn. т (О = qn, т (J) + S L (О dt'Pn. N (t-П, (6.10.11)
о
которое называют уравнением восстановления *.
В этом уравнении возьмем n = N. Тогда, по определению, qN.m (/) = 0, и мы получаем
t
Pv.m(t) = \fm(t')pN,N(t-Odt'. (6.10.12)
о
Поскольку решение начального одношагового процесса известно, это выражение является интегральным уравнением для fm{t). Его легко решить с помощью преобразования Лапласа. Полагаем
е-'Ч,-= (S). (6.10.ІЗ)
fm(s) определяем аналогично. Тогда (6.10.12) сводится к
Av, m (s) = L (s) Pn, n (s), а мы приходим к тождеству
L(s) = i^T, (6.10.14)
PN, N{S),
которое выражает распределение времени первого прохождения ъ N со стартовой точкой в т через решение начального основного кинетического уравнения для одношагового процесса.
Упражнение. Примените (6.10.14) для нахождения распределения времени первого прохождения для симметричного блуждания и сверьте полученный результат с результатом, найденным ранее в упражнении.
* D. R. Сох, Renewal Theory (Methuen, London, 1962).
168- Упражнение. Покажите, что р„. т (s) удовлетворяет разностному уравнению
— Sn, m + spn, т (s) = (E-I) r„p„_ „ (s) + (Е-1— i)gnpn, т («)• (6.10.15) Упражнение. Выведите соотношение
PN+l т (s)
Ж= , - • (6.10.16)
! + PiVfI-Ar(S)
Упражнение. Как модифицируется тождество (6.10.11), если т < N < п? Упражнение. Предположим, что потенциал на мембране нейрона является одношаговым процессом со значениями га = 0. 1, 2, ..., N—1, а когда достигаются значения N, нейрон разряжается и его потенциал падает до нуля. Покажите, что распределение времени разряда дается формулой
f(s) = pjv, т (з)/PN, о (в)-Упражнение. Из (6.10.14) следует, что
f(s)=(—W ) /Y—W l (6.10.17)
Если W — финитная матрица, то все, что нужно сделать,— это расписать два минора матрицы s—W. Примените это для системы с двумя состояниями и покажите, что получающееся в результате среднее время прохождения является величиной, обратной соответствующей вероятности перехода, как этого и следовало ожидать. Упражнение. Случайное блуждание с границей я = 0, на которой доля а является поглощающей, описывается с помощью выражений
