Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
161- имеются естественные границы. Тогда
(6.9.3)
Это распределение совпадает с ffn, найденным из обычной статистической механики, при условии, что
1= ' (?*+тгу'ж(2лкг)
a Q \ тхту J у ЧаІг
где Z, обозначает внутреннюю функцию распределения.
3. Химическая реакция. Рассмотрим автокаталитическую реакцию
к
А+Х1Т2Х, (6.9.4)
к'
где вещество А находится в таком избытке, что количество пА можна рассматривать как постоянное. Если Q —объем, пл/'?2 — концентрация вещества А, то мы имеем gn = k {nA/Q.) п, где k — константа реакции, которую обычно вводят в химической кинетике. Аналогично,
rn = (k'/u)n(n-l),
потому что две молекулы X должны столкнуться для того, чтобы одна из них исчезла.
Основное кинетическое уравнение имеет вид
Pn = ^(E - 1)п(п— !)/>„+ -?-ПА (Е-1— 1)п/7„. (6.9.5)
Его стационарное решение представляет собой равновесное распределение
Это распределение Пуассона. Его среднее
<ri>e = knjk'
совпадает с макроскопическим значением, которое дается законом действующих масс. Более общие химические реакции рассмотрены в гл. 7.
4. Рост соперничающей популяции. Пусть п — число индивидуумов в популяции бактерий определенного вида. Каждая особь может умереть с вероятностью а и образовать новую особь за счет деления с вероятностью ? за единичное время; а и ? полагают фиксированными и не зависящими от возраста особи, в противном случае процесс нельзя было бы считать марковским. Соперничество приводит к дополнительной смертности, и вероятность гибели особи у(п— 1) пропорциональна имеющемуся количеству других особей. В макро-
162- скопическом уравнении для скорости можно заменить п—\ на п:
ri = (? — а) п — упг. (6.9.7)
Это соотношение называют уравнением Мальтуса—Верхульста. Стохастической формулировкой этой модели является одношаговый процесс с
g (ii) = Pn1 г(п) = ап + уп(п- 1). (6.9.8)
Следовательно, основное кинетическое уравнение имеет вид
Pn = а(Е — 1) /гр„ -f ?{E_1 — 1) TipnAr у (Е — \)ti(n—\)pn. (6.9.9)
Мы продолжим изучение этого уравнения в § 11.4.
5. Явление сверхсветимости связано с распадом очень высоко лежащего возбужденного коллективного состояния набора атомов путем последовательного испускания фотонов. Вероятность находиться в состоянии п = 0, 1, 2, ... подчиняется основному кинетическому уравнению *
рп = (Е-\)г(п)рп (и = 0, 1,2, . . ., ,V — 1), (6.9.10а)
Ps=— г (N) Ptf. (6.9.106)
Заметьте, что шаги происходят только в одну сторону, как в радиоактивном распаде («процесс одной только гибели»). Вследствие этого в принципе имеется возможность получить явные выражения для собственных функций и собственных значений, хотя и возникают трудности для случая, когда г (ri) принимает одинаковые значения в двух разных точках п.
6. «Диод Алкемейда» * *. Модель такого диода представлена на рис. 16. Он целиком находится в тепловом равновесии, но рабочие функции W1, W2 обеих диодных пластин различны, в результате имеется контактная разность потенциалов Vc. Соответственно равновесный заряд на конденсаторе равен VcjC. Пусть п — избыток электронов на левой пластине конденсатора над этим равновесным значением, a V=—еп/С — соответствующий _ избыточный потенциал. Электроны, которые перепрыгивают слева направо, встречают пороговый щ потенциал W1, так что значение гп постоянно и равно А. Величина А дается формулой Ричардсона. Электроны, перепрыгивающие справа нале-
во, встречают потенциал следовательно,
w, + vc + v = w, + v-,
Jy1
w.
S
Рис. 16. Диод Алкемейда
А, ?„ = А ехр [—4с п\
(6.9.11)
* J. Н. Weiss, J. Statist. Phys., 6, 179 (1972).
** Ibidem.
163- Эти соотношения остаются справедливыми при п < О при условии, что V не превышает Vc.
Примечание. Разница между линейными и нелинейными одношаговыми процессами имеет большее физическое значение, чем это следует из математического различия между линейными и нелинейными функциями г (п) и g(n). Во многих случаях п означает количество объектов, таких, как электроны, кванты илн бактерии. Основное кинетическое уравнение для рп линейно по п, когда эти объекты не взаимодействуют друг с другом, но следуют своей собственной случайной предыстории независимо от других. Нелинейный член в уравнении означает, что судьба каждого объекта подвержена воздействию общего количества других, в частности как это продемонстрировано выше на примере 4. Тогда линейные основные кинетические уравнения играют роль, аналогичную идеальному газу в теории газов. Этот вопрос более формально описывается в § 7.6.
Упражнение. Полупроводник я-типа, не слишком нагруженный, можно описать с помощью (6.9.1) с M^>N. Перейдите к соответствующему пределу M —j- <х и найдите соответствующее основное кинетическое уравнение и равновесное распределение. Упражнение. При слабом возбуждении (низкие температуры) в (6.9.1) можно перейти к пределу M —*¦ оо, N —>• оо. Получающееся основное кинетическое уравнение (с новым ?) имеет вид
р„ = а (Е - 1) n2p„ + ? (Е-1- 1) рп. (6.9.12)
Оно будет использовано в § 9.2 в качестве примера. Выведите его, найдите равновесное распределение и соотношение между а и ?. Упражнение. В примере 2 перейдите к пределу Ny —* оо. Получающееся основное кинетическое уравнение линейно и его можно решить. Упражнение. Покажите, что среднее от (6.9.6) действительно совпадает с величиной, дающейся законом действия масс. Упражнение. Покажите, что собственные значения (6.9.10) равны Xn = г (п), и найдите соответствующие собственные функции, когда вырождения не происходит. В модели Вейса r(ti) — n(N — п), так что собственные выражения дважды вырождены. Как можно справиться с этой трудностью? Упражнение. Следующая модификация модели урны Эренфеста нелинейна *. Имеются две урны, каждая из которых содержит смесь черных и белых шаров. Каждую секунду я достаю одной рукой шар из одной урны, а другой рукой —шар из другой урны и перекладываю их. Запишите разностное уравнение для вероятности рп (t) получить п белых шаров в левой урне. Упражнение. Найдите стационарное решение (6.9.9) и выведите, что всякая популяция в конце концов вымрет**. Как это можно было бы предсказать с помощью интуиции?
