Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 65

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 159 >> Следующая


^Л = а^(г»^-2»)(г + я)р„ + ь?(г» + 1-г»(г + я) Рп = = ar(±-l)F + a(l-z)^-, + bg(z-l)F + b(z*-z)^r =

= (l—z) (a — bz)-?L + (\—z)(^—bg} F. (6.6.2)

Это линейное дифференциальное уравнение для F можно решить, воспользовавшись стандартным методом характеристик*. Характеристические кривые в (г, /)-плоскости определяются соотношением

_j. dz

аГ= (1-г) (a-bz)-

Уравнения для кривых получим, проинтегрировав это соотношение (рис. 13):

* I. N. Sneddon, Elements of Partial Differential Equations (McGraw-Hill, New York, 1957), Ch. 2.

149- где С—постоянная интегрирования, с помощью которой различаются характеристические кривые. Изменение F вдоль каждой отдельной характеристической кривой определяется соотношением

dz

d log F

Рис. 13. Характеристические кривые уравнения (6.6.2) для а= 1, ft== —1

а—bz ar/z — bg '

которое дает

F (z, t) = z-r(a—bzy-& const.

Константу можно выбирать по-разному для каждой характеристики, и поэтому она является произвольной функцией Q(C). Тогда общее решение уравнения (6.6.2) принимает вид

F (z, t} = z-r(a—bzy-&Qx

I-Z а — bz

ЛЬ —а) і

(6.6.3)

Определим теперь эту функцию Q таким образом, чтобы удовлетворить начальному условию рп (O) = Snjn. Запишем это начальное условие в терминах F:

F(z, 0) = zm.

Подстановка в (6.6.3) дает

I-Z

Q

а — bz

= zm+r(a — bz )«-

Временно введем переменную определив ее соотношениями

I-Z _ аС-1

E =

а—bz

ЬІ- 1

Тогда наше уравнение для Й дает

at,— 1 \m + r пь-

Q(S) =

а \&-г

F(Z, t) = Zm

6S-1 J \ ы-1

Подставляя это выражение для Q в (6.6.3), окончательно приходим к ае—b-{-a (1—е)?"1 j"»+' j'a —be— 6(1 — е) г j -m-g ^g g ^

где e = e<6_a)f.

Упражнение. Получите основное кинетическое уравнение для случайного блуждания как предельный случай (6.6.1) и найдите таким способом (6.2.9). Упражнение. Убедитесь в том, что F(l, t)=l, и найдите первые два момента п как функции t. Проверьте, что они удовлетворяют уравнениям (6.3.4.) и (6.3.5).

150- Упражнение. Если в (6.6.1) подставить «=- — п', то получится другое основное кинетическое уравнение того же типа. Каковы коэффициенты a', b', г', g этого нового уравнения? Покажите, что полубесконечную область возмож ных значений, простирающуюся до —оо, всегда можно преобразовать в область (0, оо).

Как уже упоминалось раньше, должна быть по крайней мере одна граница, чтобы предотвратить появление отрицательных значений для г„ или gn. Без потери общности в качестве такой границы можно выбрать нижнюю границу при л = 0. Тогда (6.6.4) имеет смысл только при т^О. Однако необходимо также, чтобы это выражение не содержало отрицательных степеней г, иначе оно окажется просто решением дифференциального уравнения (6.6.1) без границ и не будет являться решением настоящего основного кинетического уравнения с границей. Это условие удовлетворяется, если г = 0, т.е., чтобы наше решение работало, необходимо, чтобы граница была естественной. Тогда F можно записать в виде

F (z, t) = (a—Ь)«[а'(\— є) + (аг—b) г]т (а — Ьг — Ь(1~в)г)-т-е. (6.6.5

Дальше необходимо выделить несколько случаев. Во-первых, предположим, что область возможных значений — это (0, оо). Тогда gn = b(n + g) должна быть неотрицательной при всех п ^ О, что предполагает:

либо Ь> 0, g>0, (6.6.6)

либо Ь = 0, bg = ?^O. (6.6.7)

В первом случае (6.6.5) применимо, как оно есть, а в последнем случае нужно взять предел Ь^О при bg = ?. В результате получим

F(z, *) = [l-e+ez]-ехр [-Jj-(1-8)(1-г)], (6.6.8)

где B = e~at.

Во-вторых, пусть область возможных значений конечна: О^п^N. Тогда допустимы обе возможности (6.6.6), (6.6.7) и еще

Ъ< 0, gi^ — N. (6.6.9)

Для того чтобы функция (6.6.5) была решением, она должна быть многочленом по г степени N для каждого m = 0, 1, 2, ..., N. Тогда —g — N, так что gn = b' (N — п) для b' = — Ь> 0. Значит, верхняя граница должна также быть естественной, и F принимает вид

F(г, t) = (a + b')~N[а (1 — е) + (ае + Ь') z]m х

X [a + b's + b' (1 —в) z\N~m, (6.6.10)

где е = ехр[— (a + b')t].

Систематизируем различные случаи, для которых мы нашли решение, выписав их в виде итоговой таблицы:

1) область (—оо, оо) с постоянными коэффициентами (случайное блуждание);

151- 2) область (0, оо) с естественной границей; следовательно, r„ = anr тогда как gn дается либо выражением (6.6.6), либо выражениями (6.6.7);

3) область (О, IV) с двумя естественными границами л„ = ап и gn = b'(N-n)\

4) исключительный случай, упомянутый в следующем упражнении.

Упражнение. Условие г = 0 не единственный способ избежать появления отрицательных степеней в (6.6.5); можно потребовать а = 0. Обсудите этот случай.

Упражнение. Покажите, что все примеры § 6.4 относятся к п. 1—4, выписанным в итоговой таблице, и решите основные кинетические уравнения. Упражнение. Для примера 5 § 6.4 покажите, что

Pо (Ф

?—ае

-<?--a) t

Докажите, что имеется положительная вероятность этого, что популяция вымрет на ранней стадии и никогда не увеличится. Отсюда следует, что о2 должна быть по крайней мере порядка <ft>2. Упражнение. Для п. 2 из итоговой таблицы положите а > b и перейтите к пределу F (г, оо). Что произойдет при b > а? Упражнение. Предельный случай в п. 2 получается при а=Ь. Покажите, что это приводит к
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed