Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^Л = а^(г»^-2»)(г + я)р„ + ь?(г» + 1-г»(г + я) Рп = = ar(±-l)F + a(l-z)^-, + bg(z-l)F + b(z*-z)^r =
= (l—z) (a — bz)-?L + (\—z)(^—bg} F. (6.6.2)
Это линейное дифференциальное уравнение для F можно решить, воспользовавшись стандартным методом характеристик*. Характеристические кривые в (г, /)-плоскости определяются соотношением
_j. dz
аГ= (1-г) (a-bz)-
Уравнения для кривых получим, проинтегрировав это соотношение (рис. 13):
* I. N. Sneddon, Elements of Partial Differential Equations (McGraw-Hill, New York, 1957), Ch. 2.
149-где С—постоянная интегрирования, с помощью которой различаются характеристические кривые. Изменение F вдоль каждой отдельной характеристической кривой определяется соотношением
dz
d log F
Рис. 13. Характеристические кривые уравнения (6.6.2) для а= 1, ft== —1
а—bz ar/z — bg '
которое дает
F (z, t) = z-r(a—bzy-& const.
Константу можно выбирать по-разному для каждой характеристики, и поэтому она является произвольной функцией Q(C). Тогда общее решение уравнения (6.6.2) принимает вид
F (z, t} = z-r(a—bzy-&Qx
I-Z а — bz
ЛЬ —а) і
(6.6.3)
Определим теперь эту функцию Q таким образом, чтобы удовлетворить начальному условию рп (O) = Snjn. Запишем это начальное условие в терминах F:
F(z, 0) = zm.
Подстановка в (6.6.3) дает
I-Z
Q
а — bz
= zm+r(a — bz )«-
Временно введем переменную определив ее соотношениями
I-Z _ аС-1
E =
а—bz
ЬІ- 1
Тогда наше уравнение для Й дает
at,— 1 \m + r пь-
Q(S) =
а \&-г
F(Z, t) = Zm
6S-1 J \ ы-1
Подставляя это выражение для Q в (6.6.3), окончательно приходим к ае—b-{-a (1—е)?"1 j"»+' j'a —be— 6(1 — е) г j -m-g ^g g ^
где e = e<6_a)f.
Упражнение. Получите основное кинетическое уравнение для случайного блуждания как предельный случай (6.6.1) и найдите таким способом (6.2.9). Упражнение. Убедитесь в том, что F(l, t)=l, и найдите первые два момента п как функции t. Проверьте, что они удовлетворяют уравнениям (6.3.4.) и (6.3.5).
150-Упражнение. Если в (6.6.1) подставить «=- — п', то получится другое основное кинетическое уравнение того же типа. Каковы коэффициенты a', b', г', g этого нового уравнения? Покажите, что полубесконечную область возмож ных значений, простирающуюся до —оо, всегда можно преобразовать в область (0, оо).
Как уже упоминалось раньше, должна быть по крайней мере одна граница, чтобы предотвратить появление отрицательных значений для г„ или gn. Без потери общности в качестве такой границы можно выбрать нижнюю границу при л = 0. Тогда (6.6.4) имеет смысл только при т^О. Однако необходимо также, чтобы это выражение не содержало отрицательных степеней г, иначе оно окажется просто решением дифференциального уравнения (6.6.1) без границ и не будет являться решением настоящего основного кинетического уравнения с границей. Это условие удовлетворяется, если г = 0, т.е., чтобы наше решение работало, необходимо, чтобы граница была естественной. Тогда F можно записать в виде
F (z, t) = (a—Ь)«[а'(\— є) + (аг—b) г]т (а — Ьг — Ь(1~в)г)-т-е. (6.6.5
Дальше необходимо выделить несколько случаев. Во-первых, предположим, что область возможных значений — это (0, оо). Тогда gn = b(n + g) должна быть неотрицательной при всех п ^ О, что предполагает:
либо Ь> 0, g>0, (6.6.6)
либо Ь = 0, bg = ?^O. (6.6.7)
В первом случае (6.6.5) применимо, как оно есть, а в последнем случае нужно взять предел Ь^О при bg = ?. В результате получим
F(z, *) = [l-e+ez]-ехр [-Jj-(1-8)(1-г)], (6.6.8)
где B = e~at.
Во-вторых, пусть область возможных значений конечна: О^п^N. Тогда допустимы обе возможности (6.6.6), (6.6.7) и еще
Ъ< 0, gi^ — N. (6.6.9)
Для того чтобы функция (6.6.5) была решением, она должна быть многочленом по г степени N для каждого m = 0, 1, 2, ..., N. Тогда —g — N, так что gn = b' (N — п) для b' = — Ь> 0. Значит, верхняя граница должна также быть естественной, и F принимает вид
F(г, t) = (a + b')~N[а (1 — е) + (ае + Ь') z]m х
X [a + b's + b' (1 —в) z\N~m, (6.6.10)
где е = ехр[— (a + b')t].
Систематизируем различные случаи, для которых мы нашли решение, выписав их в виде итоговой таблицы:
1) область (—оо, оо) с постоянными коэффициентами (случайное блуждание);
151-2) область (0, оо) с естественной границей; следовательно, r„ = anr тогда как gn дается либо выражением (6.6.6), либо выражениями (6.6.7);
3) область (О, IV) с двумя естественными границами л„ = ап и gn = b'(N-n)\
4) исключительный случай, упомянутый в следующем упражнении.
Упражнение. Условие г = 0 не единственный способ избежать появления отрицательных степеней в (6.6.5); можно потребовать а = 0. Обсудите этот случай.
Упражнение. Покажите, что все примеры § 6.4 относятся к п. 1—4, выписанным в итоговой таблице, и решите основные кинетические уравнения. Упражнение. Для примера 5 § 6.4 покажите, что
Pо (Ф
?—ае
-<?--a) t
Докажите, что имеется положительная вероятность этого, что популяция вымрет на ранней стадии и никогда не увеличится. Отсюда следует, что о2 должна быть по крайней мере порядка <ft>2. Упражнение. Для п. 2 из итоговой таблицы положите а > b и перейтите к пределу F (г, оо). Что произойдет при b > а? Упражнение. Предельный случай в п. 2 получается при а=Ь. Покажите, что это приводит к