Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Wф = 0.
105 ческого уравнения. Если он нормирован, то представляет стационарное распределение вероятности системы при условии, что его компоненты ф„ неотрицательны. В следующем параграфе мы покажем, что это условие выполняется. Но сначала мы обсудим частные случаи матрицы W, для которых можно получить больше информации об этих собственных векторах.
Матрицу W называют вполне приводимой (или разложимой), если с помощью соответствующей одновременной перестановки строк и столбцов ее можно привести к виду
W = S4O B1 <5-2*>
где А и В—две квадратные матрицы меньшей размерности. В этом случае состояния разбиваются на две группы, переходы между которыми невозможны. Легко заметить, что А и В тоже являются W-матрицами. Следовательно, у них тоже есть собственные правые векторы срл и срй с нулевым собственным значением. Тогда у матрицы (5.2.6) есть по крайней мере два линейно независимых собственных вектора с нулевыми собственными значениями:
/А 0\ 'V\ /А 0\ /0 \
I0 ,Xo H " Io .Xw-0'
Если матрица (5.2.6) оказывается разложимой, то это означает, что имеются две невзаимодействующие системы, описывающиеся двумя основными кинетическими уравнениями с матрицами А и В соответственно. Нетривиальным примером является система, в которой при всех переходах сохраняется энергия: для каждой энергетической оболочки E имеется свое собственное кинетическое уравнение и свое собственное стационарное распределение сря. Стационарные решения полного основного кинетического уравнения представляют собой их линейные суперпозиции с произвольными коэффициентами лЕ:
ф - 2 nFtA-
E
Все ф, построенные таким способом при дополнительных условиях
E
представляют собой стационарные распределения полной системы. Это состояния, в которых энергия распределена по разным энергетическим оболочкам.
Матрицу W называют (не вполне) приводимой, если она может быть представлена в виде
wHo в) (5-2-7>
106 где А и В — опять квадратные матрицы, но D — вообще говоря, нет; А опять является W-матрицей, но в общем случае суммы элементов, образующих столбцы матрицы В, являются отрицательными величинами. Очевидно, у матрицы (5.2.7) есть собственный вектор с нулевым собственным значением
ЛрЛ
Ф=Чо J-
Чтобы придать этому утверждению физический смысл, рассмотрим основное кинетическое уравнение, соответствующее (5.2.7). Обозначив а и b два набора компонент, запишем
Pa=zTi А аа-Ра' ~Г 2 ^ab'Pb',
' (5.2.8)
Pb = Zi Вbb'Pb¦¦
Последняя строка составляет замкнутую систему уравнений для рь, т. е. для ее решения не нужно знать ра. Но рь оставляют свободными вероятности состояний а:
= LBw,'Vft' = ~Zf Z De6' )рь'- (5.2.9)
b b' \ b J b' \ а
Состояния b обедняются, и решение основного кинетического уравнения может быть стационарным только если все его компоненты b равны нулю. Такие состояния b называют переходными, в то время как множество состояний а, в которых собирается вероятность, называют поглощающими.
Будем называть W-матрицу расщепляющейся, если ее можно представить в виде
W
А
О О
о в
о
D
E С
(5.2.10)
Здесь А и В — W-матрицы, С — квадратная матрица, и по крайней мере некоторые элементы матриц D и E не равны нулю. Расщепляющаяся матрица разложима с дополнительным свойством, заключающимся в том, что при выбрасывании столбцов и строк, соответствующих переходным состояниям, остающаяся матрица является разложимой. Если бы матрицы DhE обратились в нуль, то W-мат-рица была бы разложимой, но мы предполагаем, что этого не происходит. Имеется три набора состояний, обозначенные а, Ь, с. Состояния с являются переходными и выливаются в а и Ь. Имеется по крайней мере два линейно независимых собственных вектора с нулевыми собственными значениями:
срл ГО
0 и ср
0 J [о
107 Упражнение. Если W — 2х2-матрица, то экспоненту в (5.2.4) можно вычислить непосредственно, раскладывая в ряд по степеням W. Используйте этот метод для решения основного кинетического уравнения дихотомического марковского процесса.
Упражнение. Покажите, что следующая матрица в соответствии с определением, • данным в тексте, приводима:
Упражнение. В качестве примера расщепляющегося процесса рассмотрим распад я~-мезона:
Определите состояния а, Ь, с и запишите W-матрицу для этого процесса.
Упражнение. Если W имеет вид (5.2.6), (5.2.7) или (5.2.10), то все степени WA (? = 0, 1, 2, ...) имеют один и тот же вид.
Упражнение. Пусть у W-матрицы есть собственный вектор с неотрицательными компонентами, некоторые из которых равны нулю. Тогда W-матрица приводима. Если у W есть вырожденное собственное значение, то у нее есть два собственных вектора с неотрицательными компонентами.
Упражнение. Пусть у W-матрицы имеется два линейно независимых собственных вектора с положительными компонентами, а собственные значения равны нулю, тогда W разложима.
Упражнение. Пусть W имеет вид ф.2.7), а элементы матрицы D неотрицательны и никакие другие условия на матрицу D не налагаются. Тогда либо все состояния Ь являются переходными, либо W является расщепляющейся или даже разложимой. Имеется по крайней мере одно переходное состояние, если только D^O. Все состояния b являются переходными, когда у D имеется хотя бы один не равный нулю элемент в каждом столбце.
