Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
00 GC 00
= V 2 (п—\)прп — у 2 K2Pn = — У 2 прп. (5.1.8)
/г=0 /J=O п — 0
Таким образом, для среднего значения стохастической переменной N (t) находим
^-<Л'(0> = -7<Лф)>- (5.1.9)
Решая это простое уравнение для <N(t)> с начальным значением <iV(0)> = n0, получаем
<W(/)> = n0e-v<. (5.1.10)
Этот результат совпадает с (4.6.2) (ср. с. (4.6.3)).
103 Упражнение. Постройте основное кинетическое уравнение для дихотомического марковского процесса (4.2.3).
Упражнение. Решите основное кинетическое уравнение и найдите таким способом (4.2.3).
Упражнение. Физически очевидно, что решение уравнения (5.1.7) с рп(0) = = on, по должно обращаться в нуль (при всех t ^Q) для п > п0. Покажите, что это действительно следует из (5.1.7). Тогда результат не должен зависеть от того, как производится суммирование в (5.1.8): до я--= оо или до п = пй.
Упражнение. С помощью вычислений, аналогичных (5.1.8), найдите <А~ (Z)2) и «jV (f)2» для процесса распада и сравните результаты с (4.6.9).
Упражнение. Случайное блуждание с непрерывным временем определено следующим образом. Состояниями являются все целые числа (— оо < п < оо). Частица может совершать скачки между соседними состояниями. За короткое время At она с равной вероятностью V2V dt может совершить скачок вправо или влево. Постройте основное кинетическое уравнение для рп (t) (ср. § 6.2).
Упражнение. В популяции п бактерий каждая отдельная бактерия с вероятностью а умирает за единичное время и с вероятностью ? порождает новую бактерию. Постройте основное кинетическое уравнение («процесс рождения — гибели», ср. с гл. 6).
Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для процессов с независимыми приращениями, определенных в (4.4.7), и решите его. Используя это решение, покажите еще раз, что P1 стремится к гауссову распределению.
Упражнение. Марковский процесс с факторизованной матрицей перехода ^ (У I У') = и (У) v (У ) (Для У J= У') называют процессом кенгуру. Покажите, что такое основное кинетическое уравнение можно решить, т. е. что P (у, t) можно выразить через P (у, 0) с помощью интегралов. Указание.
Выведите интегральное уравнение для 0(0= J v(y) P (у, t) dу и решите его
с помощью преобразования Лапласа.
Упражнение. Найдите явное решение процесса кенгуру с v (у) = Const и объясните результат (процесс Кубо—Андерсена; дихотомический марковский процесс является частным случаем).
Упражнение. Пусть (X (t), Y (t)) — марковский процесс, зависящий от двух переменных. Предположим, что его вероятности перехода за единичное
время обладают следующим свойством: ^ W (х, у Ix', у') dy не зависит
от у'. Покажите, что частный процесс X (t), определенный в (3.4.10), тоже является марковским.
5.2. КЛАСС W-МАТРИЦ
Для многих случаев оказывается удобным использовать обозначения для дискретных состояний; обобщение на непрерывный случай с формальной точки зрения можно сделать просто и без дополнительных математических трудностей. Основное кинетическое уравнение (5.1.6) можно записать в более компактном виде, если определить следующую матрицу W:
W„„- = Wnn- для пфп', Wnn = - 2 wn.n.
п' п)
104 Запишем это по-другому:
(5.2.1)
Тогда (5.1.6) принимает вид
p(0 = 2wn„Tv(0,
(5.2.2)
или короче
р it) г= W p(t),
(5.2.3)
где р — вектор с компонентами рп.
Формальное решение уравнения (5.2.3) с заданным начальным значением ри (0) можно записать в виде
Это выражение для p(t) иногда оказывается удобным, но не позволяет найти явного вида p(t). В качестве общего метода решения уравнений типа (5.2.3) нельзя использовать методы, основанные на собственных векторах и собственных значениях матрицы W, потому что W не обязана быть симметричной и не все решения могут быть получены как суперпозиция ее собственных мод (см., однако, § 5.7).
Любые общие результаты должны основываться на следующих двух свойствах матрицы W:
Эти свойства сохраняются при одновременной перестановке строк и столбцов, что эквивалентно переобозначению состояний. Но они не сохраняются при произвольном преобразовании подобия W S-1WS. Поэтому в данной задаче такие преобразования не приносят пользы. Матрицу, обладающую свойствами (5.2.5), будем называть W-мат-рицей. А теперь перечислим некоторые следствия, вытекающие из свойств (5.2.5). Наши утверждения являются строгими для конечномерных W-матриц. Часто они оказываются применимыми также к системам, имеющим бесконечное счетное или непрерывное множество значений, но в этом случае они оказываются лишь полезной, но не всегда применимой путеводной нитью.
Соотношение (5.2.56) означает, что у матрицы W есть левый собственный вектор if> = (l, I1 1, ...) с нулевым собственным значением, тогда у нее есть также и правый собственный вектор ф с тем же самым собственным значением:
Естественно, их может быть несколько. Каждый собственный вектор является не зависящим от времени решением основного кинети-
р(0 = е'>(0).
(5.2.4)
Wnn-X) для пфп', 2 Wnn- = 0 для каждого п'.
(5.2.5а) (5.2.56)
п
