Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Случайные блуждания на квадратной решетке в двумерном случае или в случае - большего числа размерностей сложнее, чем в одномерном случае, но существенных трудностей не вызывают. Например, легко показать, что средний квадрат расстояния после г шагов снова пропорционален г. Однако в многомерном случае можно также поставить задачу с исключением объема, которая описывает такое случайное блуждание с «памятью», что никакой узел решетки не может быть занят более одного раза. Эту модель используют для упрощенного описания полимера: каждый атом углерода может находиться в любой точке пространства, заданной только фиксированной длиной связей и ограничением, что никакие два атома углерода не могут находиться в одном месте. Эта задача была объектом широких исследований приближенными **, численными *** и асимптотическими **** методами. Они показали, что средний квадрат расстояния между концами полимера из г связей при боль-
* По поводу этих и других обобщений см.: М. N. Barber and В. W. Ninham, Random and Restricted Walks (Gordon and Breach, New York, 1970).
** P. J. Flory, Principlesof Polymer Chemistry (Cornel University Press, Ithaca, 1953); I. M. Lifshitz, A. Yu. Grosberg and A. R. Kokhlov, Rev. Mod. Phvs. 50, 683 (1978).
*** C. Domb J. Gillis and G. Wilmers, Proc. Phys. Soc. 85, 625 (1965).
**** S. F. Edwards, Proc. Phys. Soc. 85, 613 (1965).
97 ших г пропорционален г">&. Однако достаточно полного решения задачи найти не удалось. Трудность состоит в том, что эта модель существенно не марковская: распределение вероятности пространственной координаты следующего атома углерода зависит от координат не только одного или двух, а всех предыдущих атомов. Эту модель формально можно рассматривать как марковский процесс, если добавить бесконечное число переменных, чтобы учесть всю предысторию, но это не может помочь решению задачи.
Упражнение. Матрица перехода (4.5.5) для случайных блужданий с памятью действует в слишком большом пространстве, потому что имеют значения только состояния т~-п ± 1. Почему, несмотря на это, результат получается правильным?
Упражнение. Найдите более простой способ сведения случайного блуждания с памятью к марковской цепи путем добавлення второй переменной Y2, принимающей только два значения. Упражнение. Средний квадрат расстояния случайного блуждания с памятью легко найти с помощью следующего альтернативного метода (ср. с (1.7.8)). Он равен (А і Aj - ... -Vr;- . где каждая Xk принимает значения 4-1 и <ХкХ:k + 1y J= 0.
Упражнение. Найдите средний квадрат расстояния после г шагов при случайном блуждании на квадратной решетке в d измерениях. Упражнение. Найдите средний квадрат расстояния после г шагов случайного блуждания на двумерной квадратной решетке и если U поворотов запрещено. (Это не является задачей с исключением объема, потому что каждое место можно занимать много раз при условии, что интервал между возвращениями составляет не менее двух шагов.) Упражнение. Покажите, что для одномерного случайного блуждания с памятью распределение стремится к гауссову.
4.6. ПРОЦЕССЫ РАСПАДА
Рассмотрим кусок радиоактивного материала, содержащий п0 активных ядер при t = 0. Число N (t) активных ядер, выживающих через время t > 0, является нестационарным стохастическим процессом. Это чисто марковский процесс, потому что распределение вероятности величины N (t2) при /2 > Z1 при условии, что N (I1) = Illr не зависит от предыстории. Эти же вычисления оказываются применимыми к испусканию света возбужденными атомами, просачиванию молекул кнутсеновского газа через небольшое отверстие, гибели вражеских войск при случайной стрельбе и разрушению клеток радиацией. Их используют для описания поглощения электронов космического излучения в материале, при этом под t понимают поперечную толщину * .
Этот процесс представляет собой просто совокупность взаимно независимых процессов распада определенных ядер. Пусть w — вероятность выживания отдельного ядра за время I1. Даже до вы-
* Н. J. Bhabna and W Heitier, Proc. Roy. Soc., A 159, 432 (1937); Bha-rucha — Reid, Ch. 5.
98 числения w можно утверждать, что вероятность выживания /г, ядер
РЛпи = (4.6.1)
Отметим, что эта формула справедлива для всех целых значений пх при условии, что биномиальные коэффициенты равны нулю, когда H1 < О или /J1 > п0. Используя стандартные вычислительные приемы классической теории вероятностей, из этой формулы можно вывести
OV(Z1))
UDn^Dnо- "і
V = I-W
w іії ^w + —. -•= wn°¦ (4-6-2)
Теперь мы должны вычислить вероятность выживания W = W (Z1), если известно, что вероятность распада за единичное время для выжившего ядра постоянна и равна у. Эта задача нами уже решена (см. (3.6.3)). Результат при постоянном у имеет вид
W (Z) = (4.6.3)
Явное выражение величины P1 для нашего нестационарного процесса получим, подставив это выражение в (4.6.1):
Рі(пи ї1) = ґП")е-УЬ*( 1—е-*.)".-"., (4.6.4)
\п1 j
Та же формула позволяет выписать вероятность перехода для Z2 > Z1: Pi\i{t4, t2\nu Z1) = Q1^e-V«*-'.>«*(i_e-v«.-<.>)«.-"., (4.6.5)
