Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1) их элементы неотрицательны,
2) сумма элементов в каждом столбце равна единице.
Такие матрицы называются стохастическими***, они были изучены Перроном и Фробениусом. Ясно, что у матрицы T имеется левый собственный вектор (1, 1, ..., I) с собственным значением, равным 1, и, следовательно, правый собственный вектор ps такой, что Tps = ps. В соответствии с (4.3.9) это и есть функция P1(Ij)
* Это определение представляет собой компромисс. Некоторые авторы определяют марковские цепи только с помощью первого свойства, другие — только второго свойства. Большинство авторов не включают третье свойство в определение, но рассматривают только такие случаи. Ср. со сноской в [1, р. 340].
** См. например: J.G. Kemeny and J.L.Shell, Finite MarkovChains (Van Nostrand, Princeton, 1960); D. L. Isaacson and R. W. Madsen, Markov Chains, Theory and Applications (Wiley, New York, 1976).
*** Чтобы отличать их от случайных матриц, т. е. матриц, у которых элементы являются стохастическими переменными.
95 для стационарного процесса. Она не обязательно соответствует состоянию физического равновесия, но, например, может представлять стационарное состояние, в котором поддерживается постоянное течение. Принципиальной задачей теории является доказательство того, что для любого начального р (0) имеет место
lira Hm Т'р(0)----р\ (4.5.3)
Из теорем Перрона и Фробениуса следует, что это справедливо практически всегда, кроме нескольких исключений *. Однако мы не будем развивать здесь этот подход, потому что в следующей главе выведем все соответствующие результаты для непрерывного времени другим способом.
Упражнение. Найдите иерархию совместных функций распределения Рп(У\,'і-Уз, tt; . ..; уп, /„) (переменные у и t—целые) для конечной марковской цепи, определенной заданными функциями T и Pi(yi, 0). Упражнение. Для случая Л'--2 запишите наиболее общее T н найдите соответствующее Ps. Затем докажите, что (4.5 3) справедливо с двумя исключениями.
Упражнение. Дихотомический марковский процесс (4.2.3) можно свести к марковской цепи, если рассматривать распределение вероятности только в последовательные эквидистантные моменты времени. Постройте соответствующее T и исследуйте, имеют ли место вышеуказанные исключения. Упражнение. Предположим, T разбивается на два блока, как на ряс. 8, Покажите, что в этом случае собственный вектор ps не единствен и собственное значение і вырождено. У системы есть два множества состояний, переходы между которыми невозможны. Как изменится соотношение (4.5.3) для этого случая? Упражнение. Сформулируйте задачу о случайных блужданиях из § 1.4 как марковскую цепь. Из-за бесконечного множества возможных значений здесь нет нормировки ps. Устра ните этот недостаток, рассмотрев случайные блуждания на циклическом массиве N точек таком, что (N 1)-я позиция совпадает с первой. Найдите p5 для этой конечной марковской цепи. Правильно ли, что каждое решение стремится К ps? Упражнение. Для иллюстрации приближения к равновесию Эренфест придумал следующую модель**: M шаров, помеченных номерами 1, 2.....Л',
поделены между двумя урнами. Каждую секунду случайно из множества 1, 2......Vc равной вероятностью выбирается число, и шар с этим номером переносится из одной урны в другую. Состояние системы определяется числом п шаров в одной из урн. Процесс является марковской цепью с
Tnn'=^jf б„+і, г.-H-( '""^r J б«-ьп'- (4.5.4)
Покажите, что биномиальное распределение является стационарным решением.
* См., например, F. R. Gantmacher, Applicationsof the Theory of M'atricest (fnterscience, New York, 1959), or Cox and Miller, p. 120.
** P. and T. Ehrenfest, Mathem.— Naturw. Blatter 3 (1906) = P. Ehrenfest Collected Scientific Papers (M. Klein ed., North-Holland, Amsterdam, 1959) p. 128; M. Кас, Probability and Related Topics in Physical Sciences (intersci-ence, London, 1959) pp. 73 ff; H. Falk, Physica 104A, 459, (1980).
Рис. 8. Разложимая матрица перехода
96 Модель случайных блужданий можно обобщить путем включения статистической корреляции между двумя последовательными шагами таким образом, что вероятность а-шага в том же направлении, что и предыдущий шаг, отличается от вероятности ?-шага в обратную сторону («случайные блуждания с памятью»). В этом случае пространственная переменная Y уже не является марковским процессом, потому что ее распределение вероятности в момент времени г + 1 зависит не только от ее значения в момент времени г, но также и от значения в момент г — 1. Однако марковский характер процесса может быть восстановлен путем введения этого предшествующего значения явно в качестве добавочной переменной. Двухкомпонентный процесс (Y1, Y2), в котором Y1 — координата в любой момент времени г, a Y2 — предшествующая координата в момент г—1, снова является марковским процессом. Если обозначить пит соответственно значения Y1 и Y2, то матрица перехода имеет вид
Т(п2, m2\nu m,) = [6„з, „іЬ1(абПі, m,+i + ?6ni,
t П, — 1 (?6n,, «,,+1 + 4,, ra,-i)] 5ш„ ті]* (4.5.5) Ее можно подробно изучить потому, что этот процесс снова удалось свести к марковскому. Стохастический процесс, который можно свести к марковскому путем введения марковской переменной, будем называть марковским процессом второй степени, если же необходимо добавить большее число переменных, то это будет марковский процесс более высокой степени*.
