Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 26

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 159 >> Следующая


б. Каким образом стохастические процессы входят в физику"' Для определенности рассмотрим одноатомный газ, состоящий из Л молекул в ящике с жесткими отражающими стенками. Микросостояние этой системы определяется 6N координатами и импульсами. Выбираем фиксированный момент, который назовем «начальный момент времени»; 6jV значений координат и импульса в этот момент времени обозначим х. С помощью уравнений движения начальное микросостояние единственным образом определяет микросостояние в любой другой момент времени. Физическая величина У, связанная с системой, является функцией 6Л' переменных. Примерами таких величин могут служить число частиц в элементе объема или сила, действующая на поршень. Значение Y в момент / является функцией Yx(t), зависящей только от х. t.

Основная идея статистической механики состоит в том. что систему можно заменить соответствующим а н с а м б л е м таких систем, которые описываются теми же уравнениями движения, но имеют другие начальные микросостояния х. Структура ансамбля определяется функцией плотности р (х) таким образом, что р (х) d.v представляет число выборочных систем, обладающих начальными микросостояниями, принадлежащими элементу объема d.v. Подстановки ансамбля в случае отдельной системы превращает х в стохастическую переменную X. Множество выборочных значений Л' состоит к:і всех возможных микросостояний, а плотность вероятности с точностью до нормировки равна р:

Поскольку мы приняли эту основную идею, остается выбрать соответствующее распределение Px. с его помощью вычислить средние и интерпретировать получившиеся числа как наблюдаемые значения

Я* W

60 физических величин. Ансамбль служит просто средством представления распределения вероятности: вероятность того, что д: принадлежит определенному элементу фазового пространства йх, равна доле выборочных систем ансамбля, принадлежащих этому интервалу.

Подстановка ансамбля для реально существующих систем приводит к тому, что каждая физическая величина Y (t) становится стохастическим процессом, среднее значение и моменты которой можно связать с наблюдениями. Наблюдаемое давление на поршень отождествляется скорее со средним по ансамблю сил, с которыми отдельные молекулы действуют на поршень, чем со средним значением сил по времени. Вопрос о том, почему и в каком случае оба вида средних совпадают, является фундаментальной проблемой обоснования равновесной статистической механики, но выходит за пределы темы этой книги *.

Понятно, что такой подход не ограничен газом одноатомных молекул. Например, если тяжелая частица погружена в газ легких частиц, а л;—начальные значения всех координат и импульсов тяжелой частицы и легких частиц, то Yx(t) может являться координатами или скоростью тяжелой частицы. Из теории броуновского движения (см. гл. 8) известно, что средняя скорость подчиняется макроскопическому закону затухания, в то время как его автокорреляционная функция определяет коэффициент диффузии. Опять-таки основная идея статистической механики (для стационарных процессов) состоит в том, что можно использовать среднее по ансамблю вместо среднего по времени, которое непосредственно связано с наблюдениями.

в. Но это еще не все, потому что усреднение по начальному состоянию а- не упрощает задачу, так как для нахождения Yx(t) все еще необходимо решить микроскопические уравнения движения. Решить уравнения Лиувилля отнюдь не проще, чем эти уравнения. Довольно существенный добавочный элемент состоит в решающем предположении, называемом Stosszahlansatz, молекулярным хаосом или приближением случайных фаз. В результате этого допущения из рассмотрения исключаются несущественные быстро меняющиеся переменные, что приводит к дифференциальным уравнениям, описывающим эволюцию только медленно меняющихся переменных. Например, скорость химической реакции между двумя компонентами X и Y можно считать пропорциональной произведению их концентраций независимо от того, каковы точные значения координат и скоростей молек ул.

Полученные в результате дифференциальные уравнения являются макроскопическими уравнениями. Примеры: уравнения для скоростей химических реакций, уравнение затухающих колебаний гармониче-

* Обзор и обсуждение обширной литературы по этой проблеме см. Farquhar I E . Ergodic Theory in Statistical Mechanics (Interscience. London, 1964); Ba-lescu R., Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (Wiley, Ne^ York 1975) Appendix; Penrose 0., Reports on Progress in Physics, 42, 1937 (1979).

62 ского осциллятора для маятника в воздухе, уравнение диффузии (закон роста населения). Все эти уравнения являются приближенными, в действительности же существуют небольшие отклонения от них, которые проявляются как флуктуации. Они являются стохастическими, которые и составляют предмет настоящей книги.

Флуктуации, естественно, нельзя найти точно, что было бы равносильно решению микроскопических уравнений. Однако их стохастические свойства подчиняются довольно простым законам. Более того, для того чтобы установить эти законы, требуется повторить предположение о случайности, которое делалось при выводе макроскопических законов. Такой подход к теории флуктуаций мы будем называть мезоскопическим. Мезоскопическое приближение дает более подробное описание, чем макроскопическое, поскольку оно включает в себя описание флуктуаций, однако оно обрезает микроскопические уравнения с помощью повторного предположения о случайности.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed