Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 25

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 159 >> Следующая


* Эти термины общеприняты в физике, однако они не вполне согласуются с (1.3.8) H (1.3.9).

58 Отметим следующее очевидное свойство автокорреляционной функции стационарных процессов:

А', ,(г) Л,,( т). (3.1.5)

Когда Y (t) является комплексной величиной (например, амплитудой осцилляций), ее можно рассматривать как двухкомпонентный процесс, однако зачастую удобнее сохранить комплексные обозначения. В этом стучае можно определить комплексную автокорреляционную функцию

X (т) = «К (о)* К (T)V = X (— T)*, (3.1.6)

которая часто является полезной, несмотря на то что она содержит меньше информации, чем корреляционная 2х2-матрица.

Упражнение. Пусть заданы функция ?(/). зависящая от /, и случайная переменная X. Тогда

= (3.1.7)

является стохастическим процессом. Вычислите его я-й момент, дисперсию и автокорреляционную функцию (т. е. выразите их через стохастические свойства переменной X). Упражнение. Найдите соотношение, связывающее корреляционную 2х'2-матриц\ комплексного процесса и его комплексную автокорреляционную функцию. Упражнение. Возьмите в качестве X случайное множество точек (см. гл. 2) и определите стохастический процесс

S

Y(t) = Y o(t-'Ta). (3 1.8)

о= 1

Найдите <F(0> и <У (ij) К(/2)>-Упражнение. Тот же вопрос для процесса

S

(3.1.9)

(T = 1

где ф —заданная функция конечной ширины. Упражнение. Когда в (3.1.9) точки в случайном множестве т^ независимы н распределены стационарно с плотностью V, результат имеет вид

X ОС

(У) = V ^ (т) dT, X (0 = v ^ г)з (т) ф (t -]- т) dT. (3.1.10)

-«? —сс

Эти соотношения называют теоремой Кэмпбелла *, и мы будем называть этот процесс процессом Кэмпбелла. Упражнение. Пусть Y — процесс Кэмпбелла. Найдите характеристическую функцию для значения Y (t) в момент времени і. Покажите, что его кумулянты имеют вид

«K(f)M»=v ^ {ір(т)}и dt.

* Campbell N. R. Proc. Camb. Philos. Soc. 15,117 (1909); Rice S. O., Bell System Technical Journal, 23, 282 (1944) u 24,46 (1945), reprinted in Wax,

59- Упражнение. Пусть Y (t) — sin (tu/ + X), где X имеет постоянную плотность вероятности в интервале (0,2л). Найдите автокорреляционную функцию процесса Y.

Упражнение. Для того же самого Y (t) покажите, что характеристическая функция совместного распределения Y (t\), Y (t2) при w - 1 имеет вид

im (/,

Jtt(Vki + kt+2klkiCQS(t1-t2)r-, ?(_ !)'" Jm (kl) Jm (k2) e

— QO

Тогда І Уі I < 1, I y21 < І и РгІУи t-Л Уг, t-i)^

X

- (1-У?)-1/4(1-У2)" 1 - 1+ 2 2m" lTm Tm {y2)cos m{i j—t2)

m — 1

где Tm - полиномы Чебышева. Упражнение. Пусть стохастический процесс Y(I) определен соотношением

Y (i) ^ Xn для < t < t -- п- 1.

где п пробегает все целые значения, (X11)— бесконечное множество стоха стических переменных с одинаковыми распределениями, S — стохастическая переменная в интервале (0,1), имеющая постоянную плотность вероятности в этом интервале. Покажите, что Y (!)—стационарный процесс, и найдите его автокорреляционную функцию.

3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ФИЗИКЕ

Роль вероятности вообще и стохастических процессов в частности в физике является предметом многочисленных глубоких исследований. Здесь же мы просто хотим сделать несколько практических замечаний.

а. Почему стохастические процессы вошли в физику? Ответ состоит в том, что многие явления зависят от времени исключительно сложным образом, настолько сложным, что это исключает возможность их вычисления и даже наблюдения. Однако такие явления могут иметь средние черты, которые можно наблюдать и которые должны подчиняться простым законам. Например, точное мгновенное значение сил, действующих со стороны молекулы газа на поршень меняется исключительно быстро и непредсказуемо, но после интегрирования по малым временным интервалам (происходящим автоматически из-за инерции поршня) оно становится плавной функцией, подчиняющейся закону Бойля. Аналогично, мгновенные флуктуации тока в цепи, содержащей омическое сопротивление пли вакуумную лампу, очень сложны, но после возведения в квадриг, и вычисления интеграла по малым временам получается величина, связанная простыми законами с другими физическими величинами.

Часто высказывается мнение, что вероятностное рассмотрение в физике оправдывается тем, что мы пренебрегаем точным микроскопическим состоянием *. Однако это и другие антропоморфные

* Tolnian R. С., цитированный в (3.1.5); Jaynes Е. Т., Phvs. Rev. 10().620 ц 108,171 (1957); The Maximum Entropy Formalism, Levine R.D. andTribusM eds.. МЛ.T Press, Cambridge, Mass. 1979).

60 объяснения—только одна половина правды. В частности, при таком подходе не объясняется, почему некоторые переменные можно устранить усреднением, а другие, например полную энергию или химический состав газа,— нельзя. В действительности, из опыта мы знаем, что, несмотря на пренебрежение большинством микроскопических переменных, все же можно выявить закономерности макроскопического поведения и сформулировать их в виде общих законов. Таким образом, ясно, что точные значения этих микроскопических переменных не важны и, следовательно, по ним можно провести усреднение. Это свойство изучаемых систем, а не наблюдателя. Задача физики—объяснить, каким образом происходит это чудо и, в частности, понять, что отличает не имеющие отношения к делу микроскопические переменные от остальных макроскопических. Грубо говоря, переменные, которые быстро меняются во времени,— это несущественные переменные, хотя строгое разграничение переменных на существенные и несущественные затруднительно. Как мне кажется, это основная проблема статистической механики.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed