Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Покажите, что для дробового шума распределение промежутков времени между данным событием и k-ш событием, считая с данного, имеет вид
Wh (В) =- VW'1 e-vv/(k—\y. (2.6.11)
(•^-распределение, которое в этой связи называют также «эрланг-^-распре-делением» *).
Упражнение. Покажите, что (ср. (6.5))
W(tb-ta)\ta):
flit а)
VL ([!»]) -I &v{la)&v(tb) Io=-X1
Упражнение. Обобщите (2.6.8) для случая, когда задано более одного события. Упражнение. Докажите (2.6.9), сначала определив условную вероятность Qs для подансамбля, а затем выведите из нее соответствующую функцию Jn-Упражнение. Если событие было зарегистрировано в момент времени ta, то плотность вероятности для регистрации некоторого другого события (не обязательно следующего за ним) в момент времени tb составляет /2 Ua, 'ь)//і it а)-Парная функция распределения определяется соотношением
alt t \ tb) 1 tb)
g{a' b)" flit a)f lit b) : h-ita)flita)'
Kosten L., Stochastic Theory of Service Systems (Pergamon, Oxford, 1973).
56 Обобщите это определение на точки в трехмерном пространстве и убедитесь в том, что это есть парная функция распределения в статистической механике. Упражнение. Условная вероятность <?^(т|/а) — это вероятность того, что, зарегистрировав событие в момент вы зарегистрируете еще k событий между 'а и г-о.~("т- Эту функцию называют функцией Пальма. Выразите qh (т | ta) через f„.
ГЛАВА 3 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В этой главе определяются стохастические процессы и некоторое количество вспомогательных концепций. Обсуждается вопрос, почему ути понятия применяются в физике. Выводятся их общие свойства, подробно рассматриваются некоторые примеры.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Если определена стохастическая переменная X, из нее можно вывести бесконечное количество других стохастических переменных, а именно все величины Y, определенные с помощью некоторого отображения ; как функции переменной X. Эти величины Y могут быть математическими объектами любого вида, в частности они могут быть и функциями, зависящими от дополнительной переменной Z:
Yx(t)~--f(X, і).
Такую величину Y (t) называют случайной функцией или, поскольку в большинстве случаев в качестве Z берут время, стохастическим процессом. Таким образом, стохастический процесс — это просто функция двух переменных, одна из которых—время, а другая — стохастическая переменная X, определенная в гл. 1. Если вместо X подставить одно из ее возможных значений х, то получится обычная функция от Z
Yx u) ----- / (л'> 0.
которую называют выборочной функцией или реализацией процесса На физическом языке стохастический процесс можно представить как „ансамбль" таких выборочных функций.
На основе заданной плотности вероятности Рх(х) переменной X легко образовать средние. Например,
-К (Z) > I Y x{t) Px (X) dx.
В более общем случае берем п значений Z1, Z2, . . ., Z11 переменной времени (не обязательно все разные) и образуем n-Pi момент:
¦Y (Z1) Y (L1) ... Y (/„)> = J Kx (Z1) Yx (Z2) - Yx (Zn) Px (х) ±х (3.1.1)
57 Представляет определенный интерес автокорреляционная функция
н (Z1, h) - «У (Z1) У Ш> = < [У (U)-<y (м>) {К (z2)-<K (/,)>} -
- (3.1.2)
Для Z1 -- Z., она сводится к зависящей от времени дисперсии
< (Yit)'1 > =O2(Z).
Стохастический процесс называют стационарным, если моменты не меняются при сдвиге по времени, т. е. когда выполняется соотношение
К(/, • т) У (!.. • .) . . . Y (7„ -г- т) -- \ Y (Z1) У (Z2) . . . У (Z„)> (3.1.3)
для всех п, всех т и всех Z1, Z.,, ..., Z„. В частности, когда yYy не зависит от времени, удобно вычесть эту константу из K(Z) и иметь дело со случайным процессом K(Z)=K(Z)— -,Yy с равным нулю средним значением. Автокорреляционная функция x(Z,, Z.2) стационарного процесса зависит только от (Z1 —1.,\ и не меняется при вычитании константы. Во многих случаях существует константа хс такая, что /.(Z1, Z2) обращается в ноль или становится пренебрежимо малой для |Zt — Z.2| tt,. В таких случаях хг называют автокорреляционным временем.
Как отмечалось ранее в § 2.3, чисто стационарные процессы в природе не существуют (не считая лаборатории). Но когда продолжительность процессов намного превышает длительность изучаемого явления, их можно приближенно рассматривать как стационарные. Единственное условие состоит в том, что длительность должна быть много больше автокорреляционного времени. Процессы, не обладающие конечным т,,, никогда не «забывают», что они были когда-то в прошлом включены, и поэтому не могут рассматриваться как приближенно стационарные.
Стохастическая величина Y (Z) может иметь несколько компонент Yj(J) (/—1, 2, ..., г). В таких случаях часто бывает удобно записывать ее как вектор Y(Z). Тогда автокорреляционная функция заменяется на корреляционную матрицу:
KiAtU K(Z1)K7-(Z2) • (3.1.4)
Диагональные элементы представляют автокорреляции, недиагональные элементы — взаимные корреляции*. В случае стационарного процесса с нулевым средним значением это равенство сводится к следующему:
Ku (x) -- -'Ki (Z) K7 (Z -г т)> --= (Yi (о) Yi (т)>.
