Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 23

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 159 >> Следующая


Мы хотим выразить функцию до (0; /0) через величины, определяющие случайное множество. Обозначим р0{(„, /0 + 0) вероятность того, что между моментами времени tu и /о + 0 события не происходит. Тогда до (9; /0) d0 — вероятность того, что первое событие с момента времени t„ произойдет в промежутке времени между /„ + 0 и t0 + 0 -f dO,— равна р0 (t0, ta -f-0)—/?0(А>. U + 9 + d0). Следовательно.

w (0; /.) = -4/>„('., '. + 0)- (2.6.1)

Величина pu(ta, Z0 + 0) выражается через функции распределения с помощью соотношения (2.3.10). Подставляя этот результат, находим

®(0; <.) = М/,тв) +

+ ЕЦг1 f /в + і('. + Є, tu ..., Qdt1 ... dt„. (2.6.2)

л = I t

to

Это соотношение выражает распределение вероятности времени ожидания через последовательность функций распределения случайного множества.

Упражнение. Найдите ш(0; /„) для независимых событий. В частности, для дробового шума справедливо выражение

ИЄ; M --Zi ехр [-6/!]. (2.6.3)

Упражнение. Выведите следующую формулу, выражающую ш(0; t0) через корреляционные функции:

ш(6: t0) = p0(tn. Vf Є) [?,('„+ eH

<о+0

f gmfl(fo + e. /„ I2.....I^At1 At2 ... Atm]. (2.6.4)

¦ ml



Упражнение. Покажите, что

б L (Ni

D + 0)



(2.6.5)

O=-X

54 В правой части этого выражения нужно сначала вычислить вариационную производную по v в точке Л> -{-0, а затем вместо v подставить отрицательный индикатор (Л), /,, — б).

Можно сформулировать еще одну задачу: предположим, мы зарегистрировали событие в момент времени Za, требуется найти функцию о>(0|/„), описывающую распределение вероятности промежутков времени, по истечении которых произойдет следующее событие. Совместная вероятность того, что одно событие произойдет в промежутке времени между Za— Ata и ta, и того, что в течение времени (/(,, tb -+- dZb) событие не произойдет, дается формулой

{рЛ*а, h) — Poita, tb^r dZ„)] —

-Ma-Ata, tb)-pa(ta-Ata, /»4-(ttb)1--— Ata dtb-d2*{t" !b). (2.6.6)

n a ш b

Условную вероятность события в промежутке (tb, tb-\-Atb) при условии того, что другое событие произошло в интервале (Za— Ata, ta). можно получить разделив выражение (2.6.6) на /, (Za) Ata — вероятность события в промежутке (Z„ — dZ„, Za) (правило Байеса (1.3.3)). Тогда распределение вероятности времени ожидания tb — ta после регистрации события в момент Zn дается формулой

С помощью (2.3.10) распределение вероятности можно выразить через функции распределения /„:

W(tb-ta\ta) =J^UAta, tb)^~

h

-ЕЧг^ \f«<Ata, h, и, .-.,ZJdZ1 ... dZ„], (2.6.8)

"=1 ' Ia

Примечание. Рассмотрим еще один вывод этого результата, который позво лит нам его лучше понять. Случайное множество точек на оси времени можно представить как ансамбль большого количества отдельных множеств выборочных значений. Из этого ансамбля выделим подансамбль таких множеств выборочных значений, которые содержат одну точку, принадлежащую интервалу ta — Ata. Этот подансамбль, в свою очередь, представляет собой случайное множество точек. Величины, принадлежащие этому новому случайному множеству, будем обозначать с помощью тильды. Искомое распределение времени ожидания w(Q\ta) совпадает с ы>(6; /,,) и представляет собой аналог (2.6.1), примененный к подансамблю с заменой /0 на ta.

Заметим, что точка с запятой в (2.6.1) заменяет черту в (2.6.7)! Для того чтобы определить w (Й; /а), можно использовать формулу (2.6.2) при условии, что мы найдем сначала /„. Теперь функция распределения fn может быть интерпретирована следующим образом: Jn (t ь t.. .... /„) Atl d/2 ... Atn -это вероятность для интервалов U1, t\ + (M1). (f2, ?2-rd/2) и т. д. содержать точку при условии того, что одна точка лежит в интервале (ta—Ata, ta).

55 Тогда правило Байеса дает

Inltl, Л.)- fa^1 itatI1;, tI.....ta) C=-J. 2, ...). (2.6.9)

Il(la>

Таким образом, мы выразили функции распределения подансамбля через исходные функции распределения. В соответствии с (2.3.10) получаем

Ф ta + 0

PaVa, <а+в) = I^TTTT Ц ЦтГ^ f /» + lC«, 'ь ¦ ¦ . Mdf,... d/„(2.6.10)

fli'a) , J

"= 1 Ca

и в соответствии с (2.6.1) получаем

ш(0; *„) = _!_ [/2(/й, fe + 6) + Il\la)

X ta+ в

X Цг" f 'в + в, /1. ... r„)df,

nl

"=1

Эта формула совпадает с (2.6.8).

Упражнение. Найдите распределение промежутков времени для независимых событий.

Упражнение. Для дробового шума ну (0; /0) — w (B0) не зависит от In. Покажите, что w(Q\ta)~ ffi)(0) также обладает этим свойством. Тогда время ожидания, отсчитываемое от произвольного момента времени, окажется тем же самым, что и отсчитываемое от одного из событий. С одной стороны, это очевидно, гак как момент времени, в который произошло событие, можно выбрать в качестве произвольного момента времени I0 и этот выбор не влияет на статистику остальных событий. С другой стороны, это парадоксально, так как среднее время, прошедшее с момента последнего события, предшествующего времени c0, должно быть тем же самым. Следовательно, среднее время между событиями, взятое по обе стороны от ta, удваивается. Поясните этот парадокс. [См. обсуждение в „Weglangenparadoxon" by F. Zernike in Hanbruch der Physik, 4 (Geiger and Scheel eds., Springer, Berlin 1929), p. 440].
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed